复旦大学2005～2006学年 数学分析Ⅰ 期末考试试卷

复旦大学2005～2006学年 数学分析Ⅰ 期末考试试卷

复旦大学2005～2006学年第一学期期末考试试卷

课程名称： 数学分析I 课程代码： 318.157.1.01 开课院系： 数学科学学院

学生姓名： 学号： 专业：

题 目 得 分

1

2

3

4

5

6

7

8

总 分

填充题

1．（每空格5分，共40分）

11

1

an+bn+cn （1）limn→∞ 3

=。

n

arctanx x2

（2）lim = 。 x→0x

1 α

xsin

（3）设f(x)= x

0

x>0x≤0

1

，

当α在

范围时，f′(x)在x=0连续； 当α在 范围时，f′′(0)存在。

（4）y=(+a2arcsin，则y'= 。

，则d2y=

。（5）y= x

1

2xa

（6）曲线yex+3y x

2=4在(0,1)点处的切线方程为 。 （7）不定积分= 。 （10分）。 2．求不定积分：

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3．设0<x<1, 证明：xn(1 x)<

x2y2

4．求椭圆2+2=1上的点(x0,y0)(x0>0,y0>0)，使过(x0,y0)点的切线

ab

1

（10分）。 ne

。 与x轴，y轴所围的三角形面积最小？并求出最小的面积（10分）

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5. 设f'(x0)>0，问是否存在δ>0，使f(x)在(x0 δ,x0+δ)上单调增加？是的话，证明你的断言，不一定的话，举出反例（10分）。

x2x3xn

6．设Pn(x)=1+x+++L+，F(x)=Pn(x)Pn+1(x)，证明F(x)=0有唯

2!3!n!

一的实根（10分）。

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x3

的单调性、凹凸性、极值与拐点、渐近线，并7. 讨论函数y=

(x 1)2

作出它的图象（10分）。