试卷参考答案及评分高等代数12012)

中国计量学院试卷参考答案及评分高等代数2012年

中国计量学院2012 ~ 2013学年第1学期 《 高等代数与解析几何(I) 》课程 试卷（A）参考答案及评分标准

开课二级学院：理学院，学生班级：12信算1、2、3,12数学1 ，教师： 王航平、罗敏霞

一．证明：用 , , 分别表示三角形三边所成向量，则 0。（3分）

则三条中线可由向量

, ,

1

2

12

12

表示。（3分）

222

,而三条中线的平方和为 三边长度平方和为

111

( )2 ( )2 ( )2

2221

((4 2 4 2) (4 2 4 2) (4 2 4 2))41

((3 2 3 2 3 2) (2 2 2 2 ) (2 2 2 2 ) (2 2 2 2 )41

((3 2 3 2 3 2) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ))41

((3 2 3 2 3 2) 2 0 2 0 2 0)43

( 2 2 2).4

从而结论成立。（4分） 二．解：设所求方程为：

Ax By Cz D 0,则由题意可得： A D 0

2A B 2C 0 2A B C 0

，（6分）

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解得：C 0,B 2A 2D.令A 1,

从而所求平面方程为：x 2y 1 0.（4分） 三．利用辗转相乘法，（7分）

，答案：x四．

按第一列展开可得：

1

Dn

0 0

2

1.（3分）。

1 0

0 0000

( )Dn 1 Dn 2

0 0

0

;（5

1

分）

从而

Dn Dn 1 (Dn 1 Dn 1) n 2(D2 D1) n;Dn Dn 1 (Dn 1 Dn 1)

n 2

(D2 D1) .

n

（2分）

解得：

n 1 n 1

.

（3

分）

五．阶梯化：

1 12

2 24 306 030

1 1

00

03 00

1 2 1020010000

0 1 0 0 31

1 00 1 0 0 01

0 0

1200330000

110000100

0 1 1

0 00 031

1 030 1 0 0

200

010 001

001

6 1

120

（5分）

故秩为3（3分），右下角3级非零子式明显非零。（2分）

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六．解：

0 A 1

1 (E A)X

0 1 1 11 ,B 20 ,

5 3 0 1

B;1

从而

1 10 1 1 10 1X 20 ,（5 102 5 3

分）

利用初等行变换可以求得

3 1

X (E A) 1B 20 .

1 1 （5 2

七．方程组增广矩阵为：

4 24

分）

1

112 ，系数矩阵行列式为 5 5 1

1

5

11 5

( 1)(5 4)，（3

1

分）

（1）当（2）当

1,

4

5时有唯一解；（2

分）

4

5时 无解；（2

分）

（3）当 1时有无穷多解；通解为：k(0,1,1) (1, 1,0). （3分）

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八．证明：设方程组的向量形式为：

x1 1 x2 2 xn n , 0.

n

j

（2分）

则 ci i ,，其中为 j分量；（3分）

cij

i 1

故

c

ii 1

n

i

(k1 kt) ,（3

分）

其中ci为 分量。从而由 0知结论成立。（2分）

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九．证明： 设B (bij)，且AB BA，则

a1b11a1b12 a1b1n a1b11a2b12 anb1n abab ababab ab22122222n121222n2n （5 ab ab ab abab abnnn 2n2nnn nn1nn2 1n1

分）

从而

aibij ajbij,i,j 1,2, ,n,

故

bij 0,i j.

(5分)

十．解：该二次型矩阵为

1t5

t43 ; 531 （4

分）

因为

4331

0,

（4分）

故无论t取何值，该二次型都不正定。（2分）

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