2019学年【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修3第二章2.2-2.2.

（人教版）精品数学教学资料

第二章 统计

2.2 用样本估计总体

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的

数字特征

A 级 基础巩固

一、选择题

1．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为x －A 和x －B ，标准差分别为s A 和s B ，则( )

A.x －A >x －B ，s A >s B

B.x －A <x －B ，s A >s B

C.x －A >x －B ，s A <s B

D.x －A <x －B ，s A <s B

解析：由题图易得x －A <x －B ，又A 波动性大，B 波动性小，所以

s A >s B .

答案：B

2．已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x ，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为( )

A．5 B．6

C．4 D．5.5

答案：B

3．样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是()

A．3B．4C．5D．6

解析：x2－5x＋4＝0的两根是1，4.

当a＝1时，a，3，5，7的平均数是4；当a＝4时，a，3，5，7的平均数不是1.

所以a＝1，b＝4.则方差s2＝1

2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]

4[(1－4)

＝5.

答案：C

4．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88，若样本B数据恰好是样本A数据都加上2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是() A．众数B．平均数

C．中位数D．标准差

答案：D

5.(2015·山东卷)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．

其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

解析：由题中茎叶图知，x －甲＝26＋28＋29＋31＋315

＝29，

3105；x －乙＝28＋29＋30＋31＋325

＝30，

2.所以x －甲<x －乙，s 甲>s 乙．

答案：B

二、填空题

6．甲、乙两位同学某学科连续五次的考试成绩用茎叶图表示如图所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．

解析：x －甲＝70，x －乙＝68，s 2甲＝15×(22＋12＋12＋22)＝2，s 2乙＝15

×(52＋12＋12＋32)＝7.2.

答案：甲 甲

7．若数据k 1，k 2，…，k 6的方差为3，则2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的方差为________．

解析：设k 1，k 2，…，k 6的平均数为k －，

则16

[(k 1－k －)2＋(k 2－k －)2＋…＋(k 6－k －)2]＝3. 而2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的平均数为2(k －－3)，则所

求方差为

16

[4(k 1－k －)2＋4(k 2－k －)2＋…＋4(k 6－k －)2]＝4×3＝12. 答案：12

8．若有一个企业，70%的员工年收入1万元，25%的员工年收入3万元，5%的员工年收入11万元，则该企业员工的年收入的平均数是________万元，中位数是________万元，众数是________万元．

解析：年收入的平均数是1×70%＋3×25%＋11×5%＝2(万元)．

答案：2 1 1

三、解答题

9．下图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次．

甲射击的靶 乙射击的靶

(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；

(2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较．

解：(1)列表如下：

(2)x －甲＝9环，x 乙＝9环，s 2甲＝23，s 2乙＝1.

因为x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2

乙，

所以甲与乙的平均成绩相同，但甲发挥比乙稳定．

10．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm 2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.

解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为

[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.

乙品种的样本平均数也为10，样本方差为

[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2)＋(9.8－

10)2]÷5＝0.24.

因为0.24＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．

B 级 能力提升

1．有一笔统计资料，共有11个如下数据(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )

A ．6 B.6 C ．66 D ．6.5

解析：因为x －＝111(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x )＝111

(61＋x )＝6，所以x ＝5.方差为：

s 2＝42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋1211＝6611

＝6. 答案：A

2．甲、乙两同学在高考前各做了5次立定跳远测试，测得甲的成绩如下(单位：米)：2.20，2.30，2.30，2.40，2.30，若甲、乙两人的平均成绩相同，乙的成绩的方差是0.005，那么甲、乙两人成绩较稳定的是________．

解析：求得甲的平均成绩为2.30米，甲的成绩的方差是0.004.由已知得甲、乙平均成绩相同，但甲的成绩的方差比乙的小，所以甲的成绩较稳定．

答案：甲

3．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：

(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？

解：(1)各组的组中值分别为165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈

268(天)．

(2)

1

100×[1×(165－268)

2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋

20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60.

故标准差为 2 128.60≈46.

估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222～314天之间统一更换较合适．