二维随机变量及其分布3-1

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一维随机变量基础知识扼要回顾 1. 分布函数F (x) 的函数值表示随机变量 X 在右闭无穷 区间 (-∞, x ] 上的取值概率, 即

F ( x) P{ X x} P{X ( , x ]}2. 只要函数 F (x) 是随机变量 X 的分布函数, 那就必有

F ( ) 1 F ( ) 0 , 0 F ( x) 1不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数; 连续变量的 分布函数却是实轴上处处连续的函数 .返回

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一维随机变量基础知识扼要回顾 3. 只有连续型随机变量 X 才有概率密度 f (x) 之说, 它与 分布函数 F (x)= P{ X ≤ x }的相互关系是 x dF ( x ) f ( x) F ( x) f (t )dt , dx 对离散型随机变量而言, 刻画概率分布规律的有效手段 主要是分布列(或说分布律) pk =P{ X = xk } , k=1,2,… .它与 分布函数 F (x)= P{ X ≤ x }的相互关系可概括为

F ( x)

xk x

pk

k

,

pk F ( xk ) F ( xk 1 )

4. 分布列 pk 与概率密度 f ( x ) 的归一性是指

pk 1

1 ,

f ( x)dx 1 .返回

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一维随机变量基础知识扼要回顾 5. “点概为零”是连续变量X 的“专利”. 正是它, 决定了连续变量在无论开与闭的区间上的取值概率都等 于概率密度在该区间上的积分，即

P{ x1 X x2 } P{ x1 X x2 } f ( x )dx x1 或者

x2

P{ x1 X x2 } P{x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )但是, “点概为零”不应错用在离散变量 X 上. 事实上, 离散变量在闭区间与开区间上的取值概率, 正好就因有 还是没有区间端点的取值而大小彼此互异, 例如

P{ x1≤X ≤x2 } = F(x2) -F(x1)+P { x = x1 } P{ x1<X ≤x2} = F(x2) -F(x1)返回

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二 维 随 机 变 量 的 分 类 方 式 与 一 维 时 毫 无 二 致

1. 多维随机变量的分类⑴ 在变化域内以各自确定的概率取其可取之值的多个 随机变量, 作为一个整体, 合称为多维随机变量; 两个随 机变量时, 合称为二维随机变量. ⑵ 多维随机变量也区分为离散型变量与非离散型变量 两大类：离散型随机变量指全都仅取有限个值或无限多个 可列值的多个随机变量；非离散性变量, 通常讨论那些能 在某连通区域内连续取值的变量，主要指连续型随机变量.

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二 维 离 散 2. 二维离散随机变量的联合分布列(或分布律) 变 量 ⑴ 定义: 若某离散随机变量X 的可能取值为 的 分 xi , i = 1,2,… 布 另一离散随机变量Y 的可能取值为 列 也 yj , j = 1,2,… 是 取 则称二者同时取其所取之值的 概率清单 值 概 P{ X = xi ,Y = yj } = pi j , i , j = 1,2,… 率 的 为该二离散型随机变量( X ,Y ) 的 联合分布列(或分布律) . 表 格 特别提醒 式 清 记法: pi j = P{ X = xi ,Y = yj } = P{ (X = xi )∩

(Y = yj ) } 单 退出 返回

例1 一硬币掷 3次时正面出现的次数记为X , 正反面次数差的 绝对值记为Y . 试求( X, Y )的联合分布律. 解 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3; Y 只可能取值 1 和 3; 从而根 据 ( X ,Y ) 的联合分布律的定义，必有pij P{ X xi , Y y j } P{ X xi } P{Y y j | X xi }

1 X ~ B(3, ) , 2

1 k 1 3 k P{ X k } C ( ) (1 ) , 2 2k 3

于是可求出P{ X 0 } P{ X 3 }

此外，还可求出

1 3 , P{ X 1 } P{ X 2 } ; 8 8P{Y 3 | X 0} 1 ; P{Y 3 | X 1} 0 ; P{Y 3 | X 2} 0 ;返回

P{Y 1| X 0} 0 , P{Y 1| X 1} 1 , P{Y 1 | X 2} 1 ,

退出

8 1 1 P{ X 0} P{Y 3 | X 0} 1 , p12 P{ X 0, Y 3} 8 8 3 3 3 p21 P{ X 1, Y 1} 1 , p22 P{ X 1, Y 1} 0 0 ; 8 8 8 3 3 3 p31 P{ X 2, Y 1} 1 , p32 P{ X 2, Y 3} 0 0 ; 8 8 8 1 1 1 p41 P{ X 3, Y 1} 0 0 , p41 P{ X 3, Y 3} 1 . 8 8 8

例1 一硬币掷 3次时正面出现的次数记为X , 正反面次数差的 绝对值记为Y . 试求( X, Y )的联合分布律. 1 因此， p11 P{ X 0, Y 1} P{ X 0} P{Y 1 | X 0} 0 0 ,

亦即有联合分布列

Y1 3

X

001 8

13 8

23 8

301返回

0

0

8退出

二 维 离 散 变 量 分 布 列 的 性 质 和 用 途 与 一 维 时 雷 同

2. 二维离散随机变量的联合分布列(或分布律)⑵ 二维联合分布列的性质与用途 a. 非负性

pi j P{ X i , Y j} 0 , i , j 1, 2, b. 归一性

pi 1 j 1

ij

1

归一性主要用于确定分布列中的未知参数 对照理解

pk 1

k

1 .

返回

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例1-2 已知 ( X, Y ) 的联合分布律如下.问其中的参数 c = ?

X 10

Y

0 0 1 2c 5 4c

11

34c

11 c

2

0 0

0 0

解

依联合分布列的非负性与归一性c 0 , 1

pi j 12 4c , i 1 j 1

3

3

可见，参数

c 3.返回

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二 维 分 布 函 数 的 定 义 方 式 与 一 维 时 完 全 相 同

1. 二维联合分布函数的定义二维随机变量( X , Y ) 在无穷矩形域 { ( X , Y ) | -∞ < X≤ x , - ∞ < Y≤ y } 上的取值概率, 称为该二维随机变量( X, Y )的联合分布函 数F ( x, y ), 即 Y ( x, y) F ( x, y) P{X x, Y y} 联合分布函数的定义域是整个实 平面，值域为闭区间[ 0,1 ]. 对离散变量而言,F ( x, y) P{ X x, Y y} xi x y j y

X O 对照理解j

P{ X x , Y y }i

F ( x ) P{ X x } .返回

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二 维 分 布 函 数 的 概 率 含 义 与 一 维 时 大 同 小 异

【说明】⑴ F ( x, y ) 表示二维随机变量

(X, Y) 在右上顶点(x,y)处被封闭的无穷矩形 Y 域内的取值概率, 即

( x, y)

F ( x, y) P{ X x, Y y} P{ ( X x) (Y y) }⑵ 二维随机变量(X , Y)在任何 Y 有界闭矩形域 { ( X , Y ) | x1 X x2 , y1 Y y2 }

X O( x1 , y2 )( x 2 , y2 )

( x1 , y1 ) 上的取值概率 O P { x1 X x2 , y1 Y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ).返回

( x2 , y1 )

X退出

二 维 分 布 函 数 的 性 质 与 一 维 时 大 体 一 致

2. 二维联合分布函数的性质⑴ F ( x, y )分别关于x,y 单调不减 .⑵ 0≤F ( x , y )≤1; F ( x , -∞) = 0 , F (-∞ , y ) = 0 , F (-∞, -∞) = 0 , F (+∞ , +∞) = 1. ⑶ F ( x , y )在任一点( x , y )处右连续, 即 Y( x, y)

X O

F ( x+0 , y ) = F ( x , y ) ,F ( x , y+0 ) = F ( x , y ) . ⑷ 对任意的 x1< x2 , y1< y2 恒有 F (x2, y2) +F (x1, y1)-F (x1, y2) -F (x2, y1) ≥0 .返回

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