新版数学(文)一轮教学案：第二章第2讲 函数的单调性及其最值 Wor

第2讲 函数的单调性及其最值

考纲展示 命题探究

考点一 函数的单调性

1 单调函数的定义

2 单调性、单调区间的定义

若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )

在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．

注意点 正确理解函数的单调性

从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定

义域内某个区间而言的．有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区间上不是增函数．例如，函数y ＝x 2，当x ∈[0，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，0]时是减函数.

1．思维辨析

(1)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )

(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )

(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( )

(4)函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则函数f (x )的单调递增区间为[a ，b ]．( )

(5)若f (x )是增函数，g (x )是增函数，则f (x )g (x )也是增函数．( )

(6)已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，则函数y ＝f (－x )在R 上是减函数．( )

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√

2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )

A ．f (x )＝3－x

B ．f (x )＝x 2－3x

C ．f (x )＝－1x ＋1

D ．f (x )＝－|x |

答案 C

解析 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；

当x ∈? ??

??0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数； 当x ∈? ????32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1

为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.

3．(1)f (x )在(0，＋∞)上为减函数，则A ＝f (a 2

－a ＋1)，B ＝f ? ????34 的大小关系为________．

(2)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．

答案 (1)A ≤B (2)(－∞，0)

解析 (1)因为a 2

－a ＋1＝? ????a －122＋34≥34， 又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，

所以f (a 2

－a ＋1)≤f ? ????34，即A ≤B . (2)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝lg u 在(0，＋∞)上为增函数，u ＝x 2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f (x )在(－∞，0)上单调递减．

[考法综述] 单调性是函数学习中非常重要的内容，对于选

择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等问题，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大，这一部分在导数章节有详解．

命题法 判断函数的单调性

典例 (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝(x －1)2

C ．y ＝2－x

D ．y ＝log 0.5(x ＋1)

(2)函数f (x )＝log 12

(x 2－4)的单调递增区间为( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，0)

C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－2)

[解析] (1)y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x ＝? ??

??12x 为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 为减函数，t ＝x ＋1为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y ＝x ＋1在[－1，＋∞)为增函数，故选A.

(2)由x 2－4>0得x <－2或x >2.又y ＝log 12

u 为减函数，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)．

[答案] (1)A (2)D

【解题法】 函数单调性的判断方法

(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺

序得结论．

(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(区间)．

(3)复合函数法：适用于形如y ＝f (φ(x ))的复合函数，具体规则如下表：

y ＝即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．

(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)．

(5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性．

1．设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( )

A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数

答案 A

解析 由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (x )＝ln 1＋x 1－x

＝ln ? ??

??21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数，又f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，选A.

2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．a <b <c

B ．a <c <b

C ．c <a <b

D ．c <b <a 答案 C

解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1.当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝2x －1递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0<log 23<log 25，则f (0)<f (log 23)<f (log 25)，即c <a <b .

3．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是

( )

A ．f (x )＝x 12

B ．f (x )＝x 3

C ．f (x )＝? ??

??12x D ．f (x )＝3x 答案 D

解析 f (x )为指数函数模型，排除A 、B.又∵f (x )为单调递增函数，排除C ，故选D.

4.已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是

( )

A.1x 2＋1>1y 2＋1

B ．ln (x 2＋1)>ln (y 2＋1)

C ．sin x >sin y

D ．x 3>y 3

答案 D

解析 根据x >y ，函数f (x )＝x 3单调递增，故x 3>y 3，故选D.

5．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．

答案 (－1,3)

解析 ∵f (2)＝0，f (x －1)>0，∴f (x －1)>f (2)，

又∵f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，

∴f (|x －1|)>f (2)，∴|x －1|<2，

∴－2<x －1<2，∴－1<x <3，

∴x ∈(－1,3)．

考点二 函数的最值

函数的最小值最大值定义

注意点 正确理解函数的最值

函数的最值是函数在其定义域上的整体性质，即函数的值域中最大的一个值和最小的一个值.

1．思维辨析

(1)定义在R 上的函数一定存在最大值或最小值．( )

(2)y ＝1x (x >0)的最小值为0.( )

(3)函数y ＝f (x )可能只有最大值，没有最小值．( )

(4)定义在某开区间上的单调函数一定没有最值．( )

(5)函数y ＝1－x 2

1＋x 2的最大值为1.( )

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√

2．已知函数f (x )＝ …… 此处隐藏：8150字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……