正、余弦定理应用举例(1)

必修五 解三角形应用举例第一课时

热烈欢迎各位领导、 热烈欢迎各位领导、 老师来我校指导工作！ 老师来我校指导工作！

必修五 解三角形应用举例第一课时

正弦定理

a b c = = = 2R sin A sin B sinCb a sin A = sinB a c , = sin A sinC b = c sinB sinC C b a c B

A

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正弦定理应用的两种类型： 正弦定理应用的两种类型： 1)知两角和任一边，求其它的两边和一角 )知两角和任一边， 2)知两边和其中一边的对角，求另一边和角 )知两边和其中一边的对角，C b a c

三角形的一些基本性质

A

B

1)在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° ) 中 ∠ ∠ ° 2)大边对大角，即 a>b )大边对大角， ∠ ∠A>∠B

必修五 解三角形应用举例第一课时

余弦定理

a = b + c 2bc cos A2 2 2

b = a + c 2ac cos B2 2 2

c = a + b 2abcos C2 2 2

b2 + c2 a2 cosA = 2bc a2 + c2 b2 cosB = 2ac a2 + b2 c2 cosC = 2ab

利用余弦定理可解决一下两类解三角形问题 (1)知三边求三角 ) (2)知两边和它们的夹角，求第三边， )知两边和它们的夹角，求第三边， 进而可求其它的角A b C a c B

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应用举例(第一课时) 第一课时) 南充二中 吴应浩

必修五 解三角形应用举例第一课时

问题1. 、 两点在河的两岸 点不可到达), 两点在河的两岸(B点不可到达 问题 A、B两点在河的两岸 点不可到达 ，要测量 这两点之间的距离。(备用工具：皮尺、测角仪) 这两点之间的距离。(备用工具：皮尺、测角仪) 。(备用工具 测量者在A的同侧 在所在的河岸边选定一点C, 的同侧， 测量者在 的同侧，在所在的河岸边选定一点 ， 你能根据所学知识设计一种测量方案吗? 你能根据所学知识设计一种测量方案吗 测出AC的距离是 的距离是55m,∠BAC=51o, ∠ACB= 测出 的距离是 ， = = 75o,求A、B两点间的距离(精确到 两点间的距离( 、 两点间的距离 精确到0.1m).B

A

C

分析：所求的边 的对角是已知的 的对角是已知的,又知三角形的 分析：所求的边AB的对角是已知的 又知三角形的 一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边 的 根据三角形内角和定理可计算出边AC的 一边 根据三角形内角和定理可计算出边 对角,根据正弦定理 可以计算出边AB. 根据正弦定理,可以计算出边 对角 根据正弦定理 可以计算出边

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解：根据正弦定理，得 根据正弦定理，

B

AB AC = sin ∠ACB sin ∠ABC A AC sin ∠ACB 55sin ∠ACB AB = = sin ∠ABC sin ∠ABC 55sin 75 55sin 75 = = ≈ 65.7(m) sin(180 51 75 ) sin 54两点间的距离约为65.7米。 答：A、B两点间的距离约为 、 两点间的距离约为 米

C

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两点都在河的对岸( ),设计一种 例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种 、 、 两点都在河的对岸 不可到达), 测量两点间的距离的方法。 测量两点间的距离的方法。 B A

D 分析：用例1的方法 的

方法， 分析：用例 的方法，可以计算出河的这一岸的一 到对岸两点的距离， 的大小， 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 到对岸两点的距离 再测出∠ 的大小 借助于余弦定理可以计算出A、 两点间的距离 两点间的距离。 借助于余弦定理可以计算出 、B两点间的距离。

C

C

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解：测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得 测量者可以在河岸边选定两点 、 ,测得CD=a, 并且在C、 两点分别测得 两点分别测得∠ 并且在 、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得 和 中

Ba sin(γ + δ ) a sin(γ + δ ) AC = = sin 180 ( β + γ + δ ) sin( β + γ + δ ) BC = a sin γ a sin γ = sin 180 (α + β + γ ) sin(α + β + γ )

A

δ γ

α β

C D 计算出AC和 后 计算出 和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离

AB = AC + BC 2 AC × BC cos α2 2

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练习 如图，为了测量河对岸 A、B两点间 如图， A 3 的距离， 千米， 的距离，在河的这边测 定CD = 千米， 2 ∠ADB = ∠CDB = 30°,∠ACD = 60°, B

∠ACB = 45°,求 AB两点的距离 .分析： 分析： 1. 在△ABD中求 中求AB 中求 2. 在△ABC中求 中求AB 中求30° ° 30° ° D

45° ° 60° ° C

6 AB = 4

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小结：求解三角形应用题的一般步骤： 小结：求解三角形应用题的一般步骤： 1、分析题意，弄清已知和所求； 分析题意，弄清已知和所求； 2、根据题意，画出示意图； 根据题意，画出示意图； 3、将实际问题转化为数学问题，写出 将实际问题转化为数学问题，

已知所求； 已知所求；4、正确运用正、余弦定理解三角形。 正确运用正、余弦定理解三角形。 5、检验并作答。 检验并作答。

必修五 解三角形应用举例第一课时

必修五 解三角形应用举例第一课时

课堂小结：通过本节课，你有什么收获？ 课堂小结：通过本节课，你有什么收获？ 解决有关三角形应用性问题的思路、 解决有关三角形应用性问题的思路、 步骤和方法抽象概括

实际问题画示意图

建立数学模型

推理 演算 实际问题 的 解 还原说明 检验作答 数学模型的解

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作业布置必做题:第19页习题1.2A组 从第1、2、3、4题中选择三道题 选做题:设计测量地球与月球的间距的方案 (至少一种).

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课外延伸:

波利亚解题法

乔治·波利亚(George Polya,1887—1985)是20世纪举世公认的数学家，著名 的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师.波利亚在数学教育领域最 突出的贡献是开辟了数学启发法研究的新领域，为数学方法论研究的现代复 兴奠定了必要的理论基础.波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的 解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解

题的思维过程， 并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过 程得到的一张《怎样解题表》。 怎样解题表的主要内容是：

第一步：你必须弄清问题。 第一步：你必须弄清问题。1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？ 2. 画张图，将已知标上。 3. 3.引入适当的符号。 4. 4.把条件的各个部分分开。

第二步：找出已知与未知的联系。 第二步：找出已知与未知的联系。1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？ 2.你能否用自己的语 言重新叙述这个问题？ 3.回到定义去。 4.你能否解决问题的一部分？ 5.你是否利用了所有的条件？

第三步：写出你的想法。 第三步：写出你的想法。1.勇敢地写出你的方法。 2.你能否说出你所写的每一步的理由？

第四步：回顾。 第四步：回顾。1.你能否一眼就看出结论？ 2.你能否用 …… 此处隐藏：2246字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……