电子科大电路分析课件14

第十四章动态电路的频域分析动态电路的基本分析方法是建立电路的微分方程，并求解微分方程得到电压电流，对于高阶动态电路而言，建立和求解微分方程都十分困难。对于单一频率正弦激

励的线性时不变电路，为避免建立和求解微分方程，常常采用相量法。相量法是将正弦电压电流用相应的相量电压电流表示，将电路的微分方程变换为复数代数方程来求解，得到相量形式的电压电流后，再反变换为正弦电压电流。

在进行正弦稳态分析时，为了避免建立微分方程，我们将电路的时域模型变换为相量模型，再根据相量形式的KCL、KVL和VCR直接建立复数的代数方程来求解。具体分析步骤如图14-1所示：

图14-1

能不能找到一种类似的变换方法来求解一般线性时不变电路的全响应，而不必列出微分方程和确定初始条件呢？回答是肯定的，我们可以采用拉普拉斯变换，用类似的方法来分析任意信号激励下，线性时不变动态电路的完全响应，其具体分析步骤如图14-2所示：

图14-1

图14-1

采用频域分析方法还可以得到线性时不变电路的很多基本性质。本章先介绍拉普拉斯变换和动态电路的频域分析方法，然后介绍一种采用频域分析法的动态网络

分析程序，供读者学习电路课程时使用。

§14-l拉普拉斯变换时间函数f(t)的拉普拉斯变换记为 L[ f ( t )],其定义为

L[ f ( t )]

0

f ( t )e dt

st

其中 s j 称为复频率。积分的上下限是固定的，积分的结果与t无关，只取决于参数s,它是复频率的函数，即

L[ f ( t )] F ( s )

在电路分析中，将时域的电压u(t)和电流i(t)的拉普

拉斯变换记为U(s)和I(s)。

例如，单位阶跃函数ε(t)的拉普拉斯变换为

L[ f ( t )] ( t )e st dt0

e st dt0

1 st e s 1 s

0

下面给出常用函数的拉普拉斯变换

f (t )

F ( s)

0

f ( t )e st dt

(t ) (t )e t sin( t ) cos( t ) tn 2| K| e cos( t K ) t

1 1/s 1 s

s2 2 s s2 2 n! s n 1 K K s j s j

下面给出拉普拉斯变换的性质性质关系式L[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )] a1 F1 ( s ) a2 F2 ( s )L[ df] sF ( s ) f (0 ) dtt 0-

线性性质微分规则积分规则

L[

f ( )d ]

1 F ( s) s

其中

L[ f ( t )] F ( s ) L[ f1 ( t )] F1 ( s )

L[ f 2 ( t )] F2 ( s )

郁金香

§14-2动态电路的频域分析若将时域的电压u(t)和电流i(t)的拉普拉斯变换记为

U(s)和I(s),则时域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律分别表示为

i(t ) 0 u(t ) 0 I ( s) 0 U ( s)

0

对每个结点对每一回路对每个结点对每一回路

频域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律分别表示为

对于R、L、C元件电压电流的关系式如下所示：时域关系 uR ( t ) RiR ( t )1 t iL ( t ) uL ( )d iL (0 ) L 0-

频域关系 U R ( s ) RI R ( s )1 1 I L ( s) U L ( s ) iL ( 0 ) sL s U L ( s ) sLI L ( s ) LiL (0 ) 1 1 U C ( s) I C ( s ) uC (0 ) sC s I C ( s ) sCU C ( s ) CuC (0 )

1 uC ( t ) C

t

0- C

i ( )d uC (0 )

其中 iL (0 )、uC (0 )表示电感电流和电容电压的初始值。

图14-3表示根据R、L、C元件时域电压电流的关系式如何得到它们频域电路模型的过程。

图14-3

由此可见，在频域模型中电感电流和电容电压的初始值是以一个阶跃电源或冲激电源的形式出现的。

二、频域法分析线性时不变电路的主要步骤(一)画出频域的电路模型

已知时域电路模型可以画出频域的电路模型，其步骤如下：1.将时域模型中的各电压电流用相应的拉普拉斯变换表示，

并标明在电路图上。2.将R、L、C元件用图14-3所示频域等效电路模型表示。

其中，电感电流的初始值iL(0-)是以阶跃电流源iL(0-)/s或冲激电压源LiL(0-)的形式出现。电容电压的初始值uC(0-)是以阶跃电压源uC(0-)/s或冲激电流源CuC(0-)的形式出现。

(二 )根据频域形式的 KCL、 KVL和元件 VCR关系，

建立频域的电路方程，并求解得到电压电流的拉普拉斯变换。 (三)根据电压电流的拉普拉斯变换，用部分分式展开和查拉普拉斯变换表的方法得到时域形式的电压和电流。

例14-1电路如图14-4(a)所示，已知

R 4 , L 1H, C 1/ 3F, uS (t ) 2 (t )V, uC (0 ) 6V, iL (0 ) 4A

试求t> 0电感电流的零输入响应，零状态响应和全响应。

图14-4

解：图(a)电路的频域模型，如图 (b)所示，由此列出频域形式的网孔方程，并求解得到电感电流的拉普拉斯变换如下所示。

图14-4

uC (0 ) u (0 ) LiL (0 ) C U S ( s) s s I ( s) 1 1 1 R sL R sL R sL sC sC sC 4s 6 2 4s 6 2 2 2 s 4 s 3 s 4 s 3 ( s 1)( s 3) ( s 1)( s 3) U S ( s ) LiL (0 ) 5 9 1 1 I ( s) ( s 1 ) ( s 3 ) ( s 1 ) ( s 3 ) 全响应 零输入响应+零状态响应