2018届高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第三节 函

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第三节函数的奇偶性与周期性

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

自|主|排|查

1．函数的奇偶性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小

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正数就叫做f(x)的最小正周期。

微点提醒

1．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)。

(2)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)。

(2)若f(x＋a)＝1

f x

，则T＝2a(a>0)。

(3)若f(x＋a)＝－1

f x

，则T＝2a(a>0)。

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一、走进教材

1．(必修1P39A组T6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2

＋1

x

，则f(－1)等于( )

A．－2 B．0

C．1 D．2

【解析】f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2。故选A。

【答案】 A

2．(必修1P39A组T6改编)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，

那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________。

【解析】方法一：当x≤0时，－x≥0，f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋4x，当x∈[－2，＋∞)时，x＋2≥0，f(x＋2)＝(x＋2)2－4(x＋2)<5，解得：－3<x<3，所以－2≤x<3；当x∈(－∞，－2)时，x＋2<0，f(x＋2)＝(x ＋2)2＋4(x＋2)<5，解得－7<x<－1，所以－7<x<－2。

综上可得－7<x<3，故f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}。

方法二：如图所示，可知f(x)<5的解集为{x|－5<x<5}，

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所以－5<x ＋2<5，即－7<x <3，

故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}。

【答案】 {x |－7<x <3}

二、双基查验

1．下列函数中为偶函数的是( )

A ．y ＝x 2sin x

B ．y ＝x 2

cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x 【解析】 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数。故选B 。

【答案】 B

2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )

A ．－13

B.13

C.12

D ．－12 【解析】 ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，

∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13

。又f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝13

。故选B 。 【答案】 B

3．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )

A ．f (x )g (x )是偶函数

B ．|f (x )|g (x )是奇函数

C ．f (x )|g (x )|是奇函数

D ．|f (x )g (x )|是奇函数 【解析】 设H (x )＝f (x )·|g (x )|，

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则H (－x )＝f (－x )·|g (－x )|，

因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，

所以H (－x )＝－f (x )·|g (x )|＝－H (x )，

故H (x )是奇函数。故选C 。

【答案】 C

4．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝????? －4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ? ??

??32＝________。 【解析】 由题意得，f ? ????32＝f ? ????－12＝－4×? ??

??－122＋2＝1。 【答案】 1

5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________。

【解析】 由f (x )是奇函数知，f (x )的图象如图所示，

∴f (x )>0的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)。

【答案】 (－1,0)∪(1，＋∞)

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(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1；

(2)f (x )＝3x －3－x ；

(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3

； (4)f (x )＝(x －1) 1＋x 1－x

，x ∈(－1,1)。 【解析】 (1)因为由????? x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，

所以f (x )的定义域为{－1,1}。

又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )。

所以f (x )既是奇函数又是偶函数；

(2)因为f (x )的定义域为R ，

所以f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数；

(3)因为由????? 4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0。

所以f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，

所以f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋－3＝4－x 2

x ， 所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数；

(4)已知f (x )的定义域为(－1,1)，

其定义域关于原点对称。 因为f (x )＝(x －1)

1＋x 1－x ＝－－x ＋x ， 所以f (－x )＝－＋x －x ＝f (x )。 即f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数。

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【答案】 (1)既是奇函数又是偶函数 (2)奇函数

(3)奇函数 (4)偶函数

反思归纳 判断函数的奇偶性要注意两点：

1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提。

2．判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立。

【变式训练】 (2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )

A ．y ＝x ＋e x

B ．y ＝x ＋1x

C ．y ＝2x ＋12x

D ．y ＝1＋x 2 【解析】 函数y ＝x ＋e x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1

＋1e ，所以函数y ＝x ＋e x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数y ＝x ＋1x

的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，因为f (－x )＝－x －1x ＝－? ????x ＋1x ＝－f (x )，所以函数y ＝x ＋1x

是奇函数； 函数f (x )＝2x ＋12x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以函数f (x )＝2x ＋12x 是偶函数；函数y ＝1＋x 2的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝1＋－x 2＝1＋x 2＝f (x )，所以函数y ＝1＋x 2

是偶函数。故选A 。 【答案】 A

2x －x 2

，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝________。

【解析】 ∵f (x ＋2)＝f (x )，

∴函数f (x )的周期T ＝2。

又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，所以f (0)＝0，f (1)＝1，

所以f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 016)＝0， f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 015)＝1。

故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f …… 此处隐藏：5816字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……