求递推数列通项公式的常用方法

求递推数列通项公式的常用方法

求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一

二，供参考：

一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有

an Sn Sn 1(n 2)，等差数列或等比数列的通项公式。

例一 已知无穷数列 an 的前n项和为Sn，并且an Sn 1(n N*)，求 an 的通项公式？

【解析】： Sn 1 an， an 1 Sn 1 Sn an an 1， an 1

11

an，又a1 ， 22

1

an .

2

反思：利用相关数列 an 与 Sn 的关系：a1 S1,an Sn Sn 1(n 2)与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.

跟踪训练1.已知数列 an 的前n项和Sn，满足关系lg

Sn 1

n

n(n 1,2 ).试证数列

an 是等比数列.

二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.

例二 已知数列 an 中，a1 1，an 2an 1 1(n 2)，求数列 an 的通项公式. 【解析】： a1 1，an 2an 1 1(n 2)， a2 2a1 1 3，a3 2a2 1 7 猜测an 2n 1(n N)，再用数学归纳法证明.（略）

反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.

跟踪训练2.设 an 是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有自然数n，an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项，求数列 an 的通项公式.

三 累加法：利用an a1 (a2 a1) (an an 1)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an 1 an f(n)的递推数列通项公式的基本方法（f(n)可求前n项和）.

*

1

例三 已知无穷数列 an 的的通项公式是an ，若数列 bn 满足b1 1，

2

(n 1)，求数列 bn 的通项公式.

1 1

【解析】：b1 1,bn 1 bn (n 1), bn b1 (b2 b1) (bn bn 1)=1++ +

2 2

n

n

1

2

n 1

1 =2

2

n 1

.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1 an f(n).

1 1

跟踪训练3.已知a1 ,an 1 an (n N*),求数列 an 通项公式.

2 2

四 累乘法:利用恒等式an a1

n

aa2a3

n(an 0,n 2)求通项公式的方法称为累乘法,a1a2an 1

累乘法是求型如: an 1 g(n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g(n)可求前n项积). 例四 已知a1 1,an n(an 1 an)(n N*),求数列 an 通项公式. 【解析】： an n(an 1 an), 1×× an 1n 1aaa

,又有an a123 n(an 0,n 2)=

anna1a2an 1

23

12n

=n,当n 1时a1 1，满足an n， an n. n-1

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1 g(n)an.

跟踪训练4.已知数列 an 满足a1 1,an a1 2a2 3a3 (n 1)an 1(n 2).则

an 的通项公式是.

五：构造新数列: 将递推公式an+1 qan d（q,d为常数，q 0，d 0）通过

(an 1 x) q(an x)与原递推公式恒等变成an 1

数列.

dd q(an )的方法叫构造新q 1q 1

例五 已知数列 an 中, a1 1,an 2an 1 1(n 2),求 an 的通项公式. 【解析】:利用(an x) 2(an 1 x),求得an 1 2(an 1 1), an 1 是首项为

a1 1 2,公比为2的等比数列,即an 1 2n, an 2n 1

反思:.构造新数列的实质是通过(an 1 x) q(an x)来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.

跟踪训练5.已知数列中, a1 1,an 3n 1 an-1(n 2)求数列 an 的通项公式. 例7 已知数列{an}满足an 1 2an 3 5n，a1 6，求数列{an}的通项公式。 解：设an 1 x 5n 1 2(an x 5n)

④

将an 1 2an 3 5n代入④式，得2an 3 5n x 5n 1 2an 2x 5n，等式两边消去

2an，得3 5n x 5n 1 2x 5n，两边除以5n，得3 x 5 2x，则x=－1，代入④式，

得an 1 5n 1 2(an 5n)

⑤

由a1 5 6 5 1≠0及⑤式，得an 5 0，则

1n

an 1 5n 1an 5

n

2，则数列{an 5n}是

以a1 51 1为首项，以2为公比的等比数列，则an 5n 1 2n 1，故an 2n 1 5n。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 5n转化为

an 1 5n 1 2(an 5n)，从而可知数列{an 5n}是等比数列，进而求出数列{an 5n}的

通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 待定系数法求通项公式：

例8 已知数列{an}满足an 1 3an 5 2n 4，a1 1，求数列{an}的通项公式。 解：设an 1 x 2n 1 y 3(an x 2n y) 将an 1 3an 5 2n 4代入⑥式，得

⑥

3an 5 2n 4 x 2n 1 y 3(an x 2n y)

整理得(5 2x) 2n 4 y 3x 2n 3y。

5 2x 3x x 5令 ，则 ，代入⑥式，得 4 y 3y y 2

an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2)

由a1 5 21 2 1 12 13 0及⑦式，

⑦

得an 5 2 2 0，则

n

an 1 5 2n 1 2an 5 2 2

n

3，

故数列{an 5 2n 2}是以a1 5 21 2 1 12 13为首项，以3为公比的等比数列，因此an 5 2n 2 13 3n 1，则an 13 3n 1 5 2n 2。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 3an 5 2n 4转化为

an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2)，从而可知数列{an 5 2n 2}是等比数列，进而求出

数列{an 5 2n 2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。

例9 已知数列{an}满足an 1 2an 3 n2 4n 5，a1 1，求数列{an}的通项公式。 解：设an 1 x(n 1)2 y(n 1) z

2(an xn2 yn z)

⑧

将an 1 2an 3 n2 4n 5代入⑧式，得

2an 3 n2 4n 5 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z)，则

2an (3 x)n2 (2x y 4)n (x y z 5) 2an 2xn 2yn 2z

2

等式两边消去2an，得(3 x)n2 (2x y 4)n (x y z 5) 2xn2 2yn 2z，

x 3 3 x 2x

则得方程组 2x y 4 2y，则 y 10，代入⑧式，得

z 18 x y z 5 2z

an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n2 10n 18)

由a1 3 12 10 1 18 1 31 32 0及⑨式，得

⑨

an 3n2 10n 18 0

an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18

an 3n 10n 18

2

则

2，故数列{an 3n2 10n 18}为以

a1 3 12 10 1 18 1 31 32为首项，以2为公比的等比数列，因此an 3n2 10n 18 32 2n 1，则an 2n 4 3n2 10n 18。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 n2 4n 5转化为

an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n2 10n 18)

，从而可知数列

{an 3n2 10n 18}是等比数列，进而求出数列{an 3n2 10n 18}的通项公式，最后再

求出数列{an}的通项公式。

六 倒数变换：将递推数列an 1 式的方法叫倒数变换.

例六 已知数列 an (n N)中, a1 1,an 1

*

can1d11

(c 0,d 0),取倒数变成 的形

an 1cancan d

an

,求数列 an 的通项公式.

2an 1

【解析】:将an 1

1 an1111

取倒数得: , 2 2, 是以

an 1anan 1an2an 1 an

111