第十七届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答

高等数学竞赛试题

第十七届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答

（2006年10月14日 下午2：30 - 5：00）

注意：本考卷共九题。甲组九题全做，乙组只做前七题

一、 填空题（每题2分，共20分）

1.设严格单调函数y f(x)有二阶连续导数,其反函数为x (y),且f(1) 1,f (1) 2,f (1) 3,则 (1) ___. 解

应填

3

.8

y 1y 3

,知 (1) .23

8(y )y (y )

由 (y)

2.设单位向量 与 的夹角为 (0 π),a,b为正常数,则lim

0

1

[|a | |b | |a b |] _______.2

解应填

ab

.

2(a b)

由|a b | (a b ) (a b ) lim

0

a2 b2 2abcos 得

a2 b2 2abcos

1

2

[|a | |b | |a b |] lim

a b

0

2

lim

0

absin

2 a2 b2 2abcos

ab

.

2(a b)

3.设f(x)

1

,则f(100)(0) _______. 2

1 2x 4x

解应填 2100(100)!.

111 2x3n

因为当|x| 时,f(x) (2x) (2x)3n 1,所以f(100)(0) 2100(100)!.23

21 2x 4x1 (2x)n 0n 0

4. 0

2006π

x|sinx|dx _______.

解2

应填（2006）π.

2006π

It 2006π x 2006π(2006π t)|sint|d(2006π t) 0故

2I （2006）π.

t|sint|dt 2006π 0

2006π

2

|sint|dt I 2 （2006）π

5.已知有整数n(n 4)使极限lim[(xn 7x4 2) x]存在且不为零,则 __.

x

1

.

5

因为lim[(xn 7x4 2) x] lim[xn (1 7x4 n 2x n) x],所以由极限存在可得n 1,解应填

x

x

由极限不为零得4 n 1,因此

p

1n

1.5

6.设an 0,p 1,且limn(e 1)an 1.若 an收敛,则p的取值范围为_____.

n

n 1

解应填(2, ).因为e 1~

1n

1

(n ),所以limnp(e 1)an limnp 1an 1.

n n n

n 1

1

n

由正项级数的比较判别法知,若 an收敛,则p 1 1,即p的取值范围应为(2, ).

7.圆柱面x2 y2 a2夹在平面z y与xOy面之间的侧面积A _____. 解应填4a2.

由曲线积分的几何意义及对称性知

π

2

2

A 2 y

a2 x2

yds 2 0asintdt 4a.

高等数学竞赛试题

8.当u 0时f(u)有一阶连续导数,且f(1) 0,又二元函数z f(ex ey)满足解

应填lnu.

x

y

z z

1,则f(u) ____. x y

z zxy

记u e e,则 ef (u) ef (u) uf (u) 1,解出f(u) ln|u| C.

x y

由于u 0且f(1) 0,所以f(u) lnu.

9.y

1

y x的通解为y _____________. x

x4

解应填 C1x3 C2x C3.

12

11

令y p(x),则y y x可化为p p x.

xx

x4

根据一阶线性微分方程的求解公式得p x Cx,因此通解为y C1x3 C2x C3.

12

2

10.设函数f(x,y)

xy1tan(xy 0),则limlimf(x,y) limlimf(x,y) ____.

x 0y y x 0xy1 xy

解应填 1.

因为limlimf(x,y) 0,limlimf(x,y) 1,所以limlimf(x,y) limlimf(x,y) 1.

x 0y

y x 0

x 0y

y x 0

ππ

二.(10分)已知f (sinx) cosx tanx x， x ,且f(0) 1,求f(x).

22

ππtx

解令t sinx( x )，则f (t) t2 arcsint，即f(x) ( x2 arcsinx)dx.

2222 t x

1x

而 x2dx x x2 arcsinx） C1, ( arcsinx)dx xarcsinx C2,

2 x211

所以f(x) x x2 arcsinx） xarcsinx C.又f(0) 1,故f(x) x x2 arcsinx） xarcsinx 1.

22

三.(10分)设f(x)在( , )上有定义,且对于任意的实数a,b都有等式 f(a b) eaf(b) ebf(a)成立,又f (0) 1,求f(x).

解由

f(0 0) f(0) f(0)

得

f(0) 0.

f(x x) f(x)exf( x) e xf(x) f(x)

f (x) lim lim

x 0 x 0 x x

ex[f( x) f(0)] f(x)(e x e0) lim ex f(x). x 0 x

解此微分方程可得f(x) ex(C x),又f(0) 0,所以

f(x) xex.

四.(10分)求抛物面z x2 y2 1上任意一点P0(x0,y0)处的切平面与抛物面z x2 y2所围成 立体的体积.

解

抛物面z x2 y2 1在点P0(x0,y0)处的切平面为z 2x0x 2y0y x0 y0 1,

22

z x2 y2,

求得投影区域D：(x x0)2 (y y0)2 1, 22

z 2x0x 2y0y x0 y0 1,

所围成的立体的体积V (2x0x 2y0y x0 y0 1 x2 y2)dxdy

D

2

2

π

[1 (x x0)2 (y y0)2] .

2D

高等数学竞赛试题

2πx2 y2t

五.(10分)证明 (1 x y)dS (82 7),其中 为抛物面z 夹在平面z 0和z (t 0)

1522

之间的部分.

2

2

证

I(t) (1 x2 y2)dS

x2 y2 t

(1 x2 y2) x2 y2dxdy 2 0r(1 r2) r2dr,t (0, ).

令I (t) (1 t) t 0,

1

解得唯一驻点t 1,则I(t)的最大值为I(1),而2(8 7) 2(82 7)

,所以I(t) .

1515

I(1) 2 0r(1 r2) r2dr

六.(10分)分针和时针在零点重合后,两针针尖间的距离逐渐由小变大,再由大变小,经过后再次重合.设时针和分针分别长a与2a,问两针尖相离的速度何时达到最大.

12

小时11

解由题意知时针的角速度为 1 时针分针分别转动了角度为

6/小时，分针的角速度为 2 2 /小时，所以在t [0,]时刻，611

t

和 2 t,此时，时针和分针两针尖的位置分别为6

A(asint,acost),B(2asin2 t,2acos2 t),故A,B之间的距离为

66

11 6

S (2asin2 t asint)2 (2acos2 t acost)2 a5 4cost,t [0,],

66611

两针尖分离的速度为

11 11 211

tt) 5cost 222(cos11 a6121 6666v S ,t [0,],v ,t [0,],

311181111113

5 4cost(5 4cost)

66

22

令v 0解得驻点t ,即在小时后两针尖分离的速度最大，即从重合开始经过10分54.54秒

1111

两针尖分离速度最大.

sin

七.(10分)设二元函数f(x,y)有一阶连续偏导数,且f(0,1) f(1,0),证明在单位圆周x2 y2 1 f f上至少存在两个不同的点满足方程y x.

x y

证 令F( ) f(cos ,sin ),则在区间[0,2 ]上F( )可导,且F(0) F(π) F(2π),由罗尔定理知至

2

少存在两个不同的点 , (0,2π),使得F ( ) F ( ) 0,

而F ( ) sin fx(cos ,sin ) cos fy(cos ,sin ), 将 , 代入上式即得结论.

以下两题乙组考生不做

11 1 1

八.(10分)设整数n 1，求证： 1 .

2nee n ne

n

证 先证不等式 1 (1 1)n 1 (1 1)ln(1 1) 1 0.

e

n

ne

n

n

n

设f(x) (1 x)ln(1 x) x,

x [0, …… 此处隐藏：2514字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……