矩阵理论 课程报告(2)

重庆大学研究生矩阵论课程报告

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由于范数的等价性，矩阵的F-范数、谱范数和L-范数的数值具有相同的量阶。

3.1.3 水印的嵌入

设原始宿主图像为I，大小为M N；水印图像为W，大小为P×Q；嵌入水印后的图像记为I 嵌入过程如下

Stepl：水印图像的预处理。为了增强水印图像的安全性和抗攻击能力，在嵌入之前对水印图像进行Arnold置乱。为了方便，仍将置W

Step2：对原宿主图像I进行L级小波变换(这里L=1)，取其较该尺度小的低频系数矩阵C并对C进行分块，每块大小为m n(m=M／P，n=N／Q若M、N无法整除P、Q，则补0后再整除)。计算每块的F-范数A,得到范数矩阵T=(Aij), 0 i P,0 j Q。

Step3：记矩阵T的均值为T，将矩阵T中的每一项与均值进行比较，若大于等于均值则记为l，若小于均值则记为0，这样便得到密钥矩阵T 。

Step4：将密钥矩阵T 与置乱后的水印图像W进行逻辑异或运算，得到认证图像W 。

Step5：最后将W 送至版权管理中心注册认证。版权管理中心将为版权所有者分配一对密钥，分别为私钥Kl和公钥K2。注册时用私钥Kl对W 加密，检测时用公钥K2进行解密加密，具体如下：D=E(Kl，W )解密：W =E (K2，D) 。

3.1.4 水印的提取

水印的提取不需要原宿主图像，为盲提取，具体过程如下：

Stepl：将嵌入水印的图像I 进行L级小波分解，提取低频系数矩阵C，对C进行分块，计算每块的范数得到范数矩阵T，并将T中每个元素与T的均值T进行比较，若大于等于均值则记为l，若小于均值则记为O，这样使得到密钥矩阵T 。

Step2：利用公钥K2对D进行解密得到认证图像W ，然后再将W 与T 进行异或运算得到W。表示如下:W=T E (K2，D)。

Step3：最后将W进行反Arnold置乱恢复出水印图像。

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3.1.5 基于矩阵范数算法的总结

根据矩阵范数和矩阵奇异值分解之间等价关系，提出了一种基于矩阵范数的零水印算法，并且提取时不需要远宿主图像。算法容易理解、实现简单、计算量小且同时对于JPEG压缩、高斯噪声、椒盐噪声、几何剪切、中值滤波等攻击操作有良好的鲁棒性。

3.2 控制系统稳定性判别的矩阵范数分析法

3.2.1 应用背景

对系统运动稳定性的分析是系统与控制理论的一个重要组成部分通常，可按两种方式来定义系统运动的稳定性，通过输入——输出关系来表征的外部稳定性，也即是有界输入一一有界输出稳定的，并简称为BIBO稳定另一种方式是通过零输入下状态运动的响应来表征的内部稳定性，就一般情况而肓，内部稳定性是指系统状态自由运动的稳定性，也即李亚普诺夫意义下的稳定性对于控制系统受到扰动的稳定性分析，可以使用时域法，也可以使用频域法进行分析．首先全面回顾了线性系统稳定性分析方法，并指出其不足，在此基础上从另一角度提出了矩阵范数分析法。

3.2.2 矩阵范数理论在离散线性系统稳定性判别中的应用

A Cn n，它的谱半径 （A)是一个相当重要的量， （A)的确定对于由A形成的幂级数 anAn的收敛以及基于A所作的矩阵迭代的收敛起着重要的作用。这在以

n 0n

后的稳定性分析中将会看到。首先，先介绍一下矩阵范数理论中与稳定性相关的两个定理定理。

定理1：有一离散系统， （k 1) A (k)，k=0，1， ，对任何 0 Cn， （0) 0，系统为原点平衡状态，即 0 0，当且仅当A的潜半径 （A)<l时，

即系统在原点平衡状渐近稳定。

定理2：A Cn n, 1， 2....... n是一组正实数，令 n n 1 max aijj i ; 2 max ji i j j i jaij i

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则 （A) min( 1, 2)。

因此，对于给定的离散性系统 （k 1) A (k)，k=0，1，....若分析其稳定性，我们可由以下步骤来完成。第一步，任取一组正实数，这组数的个数与矩阵A的维数相同；第二步，由定理2计算 1和 2，然后计算 （A) min( 1, 2)；第三步，有定理1，用 （A) 1，判断系统是否在原点平衡状态渐进稳态。

3.2.3 算例分析

010 001设有一离散线性系统 （k 1) A (k)，k=0，1，...其中矩阵 A= 01/30

试用矩阵范数分析法判断系统在平衡状态 i 0处的渐进稳定性。

首先，任取一组正实数 1 3， 2 2， 3 1；其次，计算 1和 2，有公式得到 （A) min( 1, 2)=2/3；最后，由于 （A) 1，所以，可以判断该系统在平衡状态处渐进稳态。

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参考资料

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吴建华，王铮.一种基于矩阵范数的零水印算法[J].微处理机,2009,10(5). 李新，何传江.矩阵理论及其应用[M].重庆:重庆大学出版社，2005.12. 郝加臣，余发山，王红旗.控制系统稳定性判别的矩阵范数分析法[J].焦作工学院报，2003,1（1）. 刘新，王英，杨国为.基于整数小波矩阵范数数量化的多重数字水印算法[J].计算机工程与应用，2007，43（34）. 甘文珍，陈建华，朱鹏.矩阵范数的一个应用背景及其教学启示[J].数学教学研究,2012,5.