矩阵理论 课程报告

重庆大学研究生矩阵论课程报告

矩阵理论及其应用论文

“矩阵论”课程研究报告

科 目： 矩阵理论及其应用 教 师： XXX

姓 名： XXX 学 号： 20140802XXX 专 业： 仪器科学与技术 类 别： 学术 上课时间： 2014年9月至2014年12月

考 生 成 绩：

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矩阵范数的应用

摘要： 矩阵是工程程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具，凡

是用到矩阵的地方，基本上都要涉及矩阵范数。是数学上向量范数对矩阵的一个自然

推广。在工程实际中应用很广，本文先对矩阵范数知识做一个梳理，然后结合应用实际介绍

了矩阵范数的具体应用。

关键字：矩阵范数，基本知识，相关应用

一、引言

用矩阵的理论与方法来处理现在工程技术中的各种问题已越来越普遍。在工

程技术中引进矩阵理论不仅是理论表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，例如系统工程，优化方法，稳定性理论等，无不与矩阵理论发生紧密的结合。

在工程及计算范数中，特别是数值代数中，研究数值方法的收敛性稳定性及

误差分析等问题，范数理论显的十分重要。矩阵理论是数学的一个重要分支，在

多种工程学科中都有极其重要的应用。特别是对线性控制系统深入研究的需要推

动了矩阵理论的发展，使矩阵理论的内容更加丰富多彩。

矩阵范数在网络理论、数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等

许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了矩阵范数的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。

二、预备知识

2.1 矩阵范数的定义

由于一个n×n矩阵可以看成是一个拉直了的n×n维向量，因此可以按定义向

量范数的方法来定义矩阵范数，但矩阵之间还有乘法运算，因此，对于n×n矩阵A，定义范数如下：

设A、B Cn n，c C,按某一法则在Cn n上定义一个A的实值函数，极为A,

它满足以下4个条件

1. 非负性 如果A 0，则A>0

2. 齐次性 如果A=0，则A=0;

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3. 三角不等式 A B A B

4. 相容性 AB AB 则称A为矩阵范数或乘积范数。

对于Cn n中的矩阵A(m n时），只要第4条的AB AB要求AB有意义就行。

2.2 矩阵范数的几个常见性质

性质1：如果任意向量及任意n阶方阵A Cn n，对于给定的向量范数 和矩阵范数A满足不等式 A A 则称矩阵范数A和向量范数 相容。

性质2：设A Cn n,P,Q Cn n, P,Q皆为酉矩阵，则 PAF AF AQF

(在A是n级实方阵时，P、Q都是正交矩阵）

2.3 几种常见矩阵范数

根据向量范数是其分量的连续函数这个性质，则对于每个矩阵A来说，A

的最大值都是可以达到的。即是说，总可以找到这样的向量 0 0， 0 1，使

A 0 A ,于是定义 A A

相关定理 1：设A Cn n, Cn, =( 1, 2，...... n)T则从属于向量 的三种范数

2 的矩阵算子范数分别为

1. A1=max aij

ji 1n

2. A2 1 1为ATA的最大特征值

3. A max aij

ij 1n

相关定理2：对任意的方阵范数A,A Cn n,必在Cn上存在与之相容的向量范

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数 T, Cn, 0。

2.4 诱导范数

把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数

║A║ = max{║Ax║：║x║=1}= max{║Ax║/║x║： x≠0} ，

它自动满足对向量范数的相容性

║Ax║ ≤ ║A║║x║，

并且可以由此证明

║AB║ ≤ ║A║║B║。

注：

⒈上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的（有

限开覆盖定理），从而上面的连续函数可以取到最值。

⒉显然，单位矩阵的算子范数为1。

常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是

1-范数：║A║1= max{ ∑|ai1|，∑|ai2|， ，∑|ain| } （列和范数，

A每一列元素绝对值之和的最大值其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a22|+...+|an1|，其余类似）；

2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 = (max{ λi(A^H*A) }) ^{1/2} （谱范

数，即A^H*A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵）； ∞-范数：║A║ = max{ ∑|a1j|，∑|a2j|,...，∑|amj| } （行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值）其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似）； 其它的p-范数则没有很简单的表达式。对于p-范数而言，可以证明║A║p=║A^H║q，其中p和q是共轭指标。简单的情形可以直接验证║A║1=║A^H║ ，║A║2=║A^H║2，一般情形则需要利用║A║p=max{y^H*A*x：║x║p=║y║q=1}。

2.5 非诱导范数

有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的Frobenius范数（也叫

Euclid范数，简称F-范数或者E-范数）：║A║F= （∑∑ aij^2）^1/2 (A全部元素平方和的平方根）。

容易验证F-范数是相容的，但当min{m,n}>1时F-范数不能由向量范数诱导

（||E11+E22||F=2>1）。

可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。例如定义║x║=║X║，

其中X=[x,x， ，x]是由x作为列的矩阵。

由于向量的F-范数就是2-范数，所以F-范数和向量的2-范数相容。另外还

有以下结论：F <= ║A║F║B║2 以及 ║AB║F ≤ ║A║2 ║B║F

2.6 矩阵的谱半径和范数

定义：A是n阶方阵，λi是其特征值，i=1,2， ，n。则称特征值的绝对值的

最大值为A的谱半径，记为ρ（A）。注意要将谱半径与谱范数（2-范数）区别开来，谱范数是指A的最大奇异值，即A^H*A最大特征值的算术平方根。

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谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。谱半径和范数的关系是以下几个结

论：

定理1：谱半径不大于矩阵范数，即ρ（A）≤║A║。因为任一特征对λ，x,Ax=

λx，可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。

定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得║A║<ρ

（A)+e。

定理3(Gelfand定理）：ρ（A)=lim_{k->；∞} ║A^k║^{1/k}。利用上述性

质可以推出以下两个常用的推论：

推论1：矩阵序列 I,A,A^2， A^k， 收敛于零的充要条件是ρ（A)<1。

三、矩阵范数在工程实际的运用

3.1 一种基于矩阵范数的零水印算法介绍

3.1.1 研究背景

随着数字技术和Internet的发展与普及，数字化产品(图片，音频，视频等)

越来越丰富；同时，数字信息的复制也变得越来越简单，使得多媒体信息被非法

拷贝与篡改的问题变得越来越突出，数字化产品的版权保护成为一个迫切需要解

决的问题．数字水印技术作为实现版权保护的一个有效办法，成为了多媒体信息

安全领域研究的热点。

一般的，根据数字水印算法的工作域不同，可将其分为空间域方法和变换域

方法．空间 …… 此处隐藏：2832字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……