Ch7定积分的应用与广义积分7.2.1

高数

§7.2 几何应用 平面图形的面积 平面曲线的弧长 立体体积

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高数

7.2.1 平面图形的面积A、直角坐标系下的面积公式 、y y

y = f ( x)

y = f ( x)y = g ( x)

o

a

x x + xb

x

o

a

x

x

b

x

曲边梯形的面积

两曲边梯形夹的面积

A = ∫a f ( x )dx

b

A = ∫ [ f ( x ) g ( x )]dxa2/24

b

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高数

穿针引线法yf ( x)

y

上边界 f ( x)

y

f ( x)

g( x )

b 0

ab

b

x

0

a

g( x )

x

0 a

cc

b x

下边界A=

∫ f ( x)d xa

A=

∫ [ f ( x ) g( x )] dxa

b

A=

∫ [ f ( x ) g( x )] dx + [ g ( x ) f ( x )] dx ∫a b c

x型区域 图形向 轴投影所围曲边梯形， = | f ( x ) g ( x ) | dx 型区域:图形向 轴投影所围曲边梯形， 型区域 图形向x轴投影所围曲边梯形 ∫a 为积分变量， 以x为积分变量，穿过的曲线方程 y=f(x),g(x)表达式唯一。 唯一。 一般公式 3/24首页 上页 返回 下页 结束

b

高数

穿针引线法y y

y + dy yc

d

x = ( y)dA

下边界 ψ ( y )c

d

( y ) 上边界

0

xd

0d

x

A = ∫ ( y) d yc

A = ∫ [ ( y ) ψ ( y )] dy= ∫ | ( y ) ψ ( y ) | dyc

c d

y型区域 图形向 轴投影所围曲边梯形， 型区域:图形向 轴投影所围曲边梯形， 型区域 图形向y轴投影所围曲边梯形 为积分变量， 为积分变量 以y为积分变量，穿过的边界曲线方程 表达式唯一。 表达式唯一。首页 上页 返回 下页

一般公式

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高数

例 1. 求由曲线 y = 2 x x 与直线 x + y = 0 所围成的面积. 所围成的面积. y 解 y = 2x x2 由 x+ y=0 0得交点 (0 , 0) 与 ( 3 , 3) [ x , x + dx ] [0 , 3],

2

3

x

dA = [2 x x ( x )] dx9 3 2 1 3 2 = dA = (2 x x + x ) dx = ( x x ) ∴ 面积 A = 2 2 3 0 0 0

2

∫

3

∫

3

3

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高数

1 1 例 2 求在区间 [ , 2] 上连续曲线 y = ln x ,x 轴及二直线 x = , 2 2x = 2 所围成的平面区域的面 积.解

y

面积 A =

∫

1 2

1

( ln x ) dx +1

∫

2 1

ln x dx02

1 2

1

2

x

= ( x ln x + x )3 1 = ln 2 2 2

|1 2 + ( x ln x x ) |1

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高数

所围图形的面积. 例 3 求抛物线 x = 2 y ,x = 1 + y 所围图形的面积.解

2

2

x = 2y 由 2 得交点 ( 2 , 1) 与 ( 2 , 1). x = 1+ y 2

y10

由对称性可知， 由对称性可知，

1

2

x

= 面积 A

∫

1 0

x dx+ 21

∫

2 1

x ( x 1) d x × 2 2

1

2 3 x 2 = 2 3 另解

0

2 3 2 32 2 4 x ( x 1) 2 = + 3 3 1 3

A=2

∫

1 0

[(1 + y ) 2 y ] dy= 2

2

2

∫

1 0

(1 y ) dy =

2

4 37/24

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高数

例 4

计算由两条抛物线 y 2 = x 和 y = x 2 所围成的 图形的面积. 图形的面积

解 两曲线的交点

y= x

(0,0) (1,1)一: 选

x 为积分变量 x ∈ [0,1]

y = x2

面积元素 dA = ( x x 2 )dx1

看作x型区域 看作 型区域3 1

2 3 x 1 A = ∫0 ( x x )dx = x 2 = . 3 0 3 328/24

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高数

二: 选y为积分变量

y ∈ [ 0 ,1]x = y2x= y

面积元素

dA = ( y y )dy2

A = ∫ ( y y )dy2 0

1

2 y = y 3 0 33 2

3

1

看作y型区域 看作 型区域

1 = . 3首页 上页 返回 下页 结束

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高数

例 5

计算由曲线 y = x 3 6 x 和 y = x 2 所围成y = x3 6x

的图形的面积. 的图形的面积

解 两曲线的交点

y = x3 6x y = x2 (0,0), ( 2,4), ( 3,9).

y = x2

选 x 为积分变量 x ∈ [ 2, 3](1) x ∈ [ 2, 0], dA1 = ( x 3 6 x x 2 )dx ( 2) x ∈ [0,3], dA2 = ( x 2 x 3 + 6 x )dx10/24

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高数

于是所求面积 A = A1 + A2

A = ∫ 2 ( x 6 x x )dx + ∫0 ( x 2 x 3 + 6 x )dx3 2

0

3

253 = . 12说明：注意各积分区间上被积函数的具体形式. 说明：注意各积分区间上被积函数的具体形式.

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高数

参数方程 (之前已 经看过) 经看过) 曲线 y = f ( x ) 由 x = ( t ) (α ≤ t ≤ β ) 确定， 确定， y = ψ (t )

单调、可导， 连续. 其中 ( t ) 单调、可导， ( t ) ≠ 0,ψ ( t ) 连续.

'

若 (t )

,b

面积 A = ∫ ydx = ∫ ψ (t ) d (t ) = ∫ ψ ( t ) '( t ) d ta

β

β

α

α

若 (t )

,A=

∫

β

α

ψ ( t ) ( t ) d t

'

x型区域 型区域y

f ( x)

0首页 上页 返回 下页

a结束

b

x12/24

高数

x y 的面积. 例 6 求椭圆 2 + 2 = 1的面积 a b x = a cos t 解 椭圆的参数方程 y = b sin t

2

2

A1

由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积. 由对称性知总面积等于 倍第一象限部分面积. 倍第一象限部分面积

A = 4 ∫0 ydx = 4 ∫ b sin td ( a cos t )π 2

a

0

= 4ab ∫ sin 2 tdt = πab.013/24

π 2

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例5 例7

x = a ( t sin t ) 求摆线 y = a (1 cos t ) 的第一拱 (0 ≤ t ≤ 2π ) 与 x 轴所围成 y 图形的面积. 图形的面积.面积 A =

解

∫0

2π a

y dx

0

2πa

x

= =

∫ ∫

2π 0 2π 0

a (1 cos t ) [a ( t sin t )] dt

'

a (1 cos t ) dt2

2

2

(倍 角公式)

= 3π …… 此处隐藏：2781字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……