2-2 递推关系与Fibonacci数列

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2.2 推递系与关递 关系推与Fbinocaic数列数列 1. 递推系 关. 2iFboancic列数数

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列1.递 推系Ha关no塔i问题：是这合数学中组的一著名个问题 。问塔：这是组题数学中的一合个著问名。 题塔问题n个 盘圆其依径大半小，下从上套在A而上柱每 。圆个依其半径盘小，从大而上套在下 柱 上柱。 个圆上依其半盘大小 次只允许径取一个到移B柱 或 次只允上取一许个到柱 或移C,上而且允许不大盘放在小 盘方上若要。把柱A求的上 个移到C盘柱 上的n上个移盘 到放在盘上方小。若求要柱把上A的n盘个到C柱上移 请计一种设方法并估要移计动几个盘次。 ,请设计种一方并估计法要动几个盘次移现。只 三根在柱可子。用 A有B、、三C根子柱可用。 、、 根三子可柱用首先 设要计法，进而算计估它的复性，杂首先 设要计算，法而估进计它复的性杂，估计工 作量即 。量作

。

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当n2时， 时 =第一把步柱的A圆盘移小到柱 第 一步 柱把小的盘移圆B到； 柱的小圆盘移到柱 第步二把柱的A圆大盘到 柱 移第二步把 柱大的盘圆移C到； 柱柱大圆的盘移 到第步把三柱B小的圆盘移到 即完柱成移动。 三第把步 柱小圆的盘到C柱移即，完成移。动 柱的小盘圆到移A

B

C

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定n假1-个盘子转移算的法已确定经，对一于般n 个假 个定盘子转移的法算已经定确，对一于般 个个 子的转移盘法算经已定确圆盘 问题的 ，圆盘问的，题首 先把A上面柱的 圆盘个移 到首把 柱先面的n-1上圆个盘到 柱； 柱上面移 个圆盘的到B移柱 然把后柱A最面下圆的盘到移 ； 柱然把 后柱下最面圆盘的移到C柱 最柱面下的盘移到圆最后 把柱的 B圆个移盘到最 后 把柱的-1n个圆盘到 柱移，完即移动成。 柱 的个圆移盘C柱到 即完移动。成 A

B

C

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示n表个圆盘所需的要移转盘 次令hn()示 表圆个所盘需要的移盘次。转表 示个盘圆所需要的转移次。 根据算法盘把前面n-先个盘子1移转 上到然 把第后n 据根算法把前面先 盘个转子移B到；然上后第 把个盘子移转到个盘 转到子上 C后将B最的个 盘子移到转 盘个转移到C子 上盘个子到 转上最；后将 的n-1盘个子转到移上。 因有：此 因此有：(hn) = 2(n h1) + 1, h() 1= .

1这个递从关推式可以系项递逐推得到所有h(n)。的。 从个递推关这式系可逐项递推以到得所有的下 我面们利母用函来得到h数n)(的通表项式。达的通项表 式达。 面我们下利母函用数来到 的得通项达式表 假序设列h()n对的母应函为 对应数母的数为函(Hx,即)假 设序列对应 的母数为函 ，H ( ) x =(h)1 +x (h2) x + 2(3)hx +

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H(3x )=h 1)(x +h 2) x( 2+h 3)( 3 +x-2h(1) 2 xh(22 )x 3+ +,) xH2(x = )____________ _______ __________ _______

_1 2x)H((x

) =(h)1x + [h(2 )h(1)2x]2+[ (3)h h22(]x3)+ x2 3 = , + x + xx + = x1此有因xH x()= .( x1)( 1 2)x

或者

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利 用2: x(2h)= 2 h1()+ x31: (3h = 2)h2)( +1 x 4 h(:) =4 h(3)2+ 1_________ __________ _________)+H( x ) x = x2 H (x) + x 2 /(1 x )样可以同到： 得样同以得可到:x H x) =(. 1( ) x(1 2x

)

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下我们用幂面级数展开方的得到h(法n). 下我们面用级幂数展的开法方到得假 设x AB H(x) = . =+ (1 x ) (1 2 ) 1 x2 1 xx 利用 定待数系容法易得到A1,=B-=1即，利 待定系数法容易得到 用，, ∞∞ 11 H( x ) = ∑= ( 2x n) ∑ nx1 2 x 1x =n0 n =

0= ∑(2 n 1) n ,xn= 1∞

即

h() = n2 1n

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.位十制数中出现偶数进个的5的数数 例1 个n位求十制进数中出偶数现个 的数的数。个 十位制数进出现偶中数个 的的个数数。 于一个对n十位进数制对于 一 个位十制数 p进 12…ppn- pn,1 p则1 2…pp-n1 十进制数。 是n-1位十位进数制。位十 进数制 须取必以外 九个的中数 若的它有含偶数个，5 pn则须必取5外以九个数的中 的若含它有偶个 ， 一数个； 个；一含有 奇个5, 必数须取成5。若 p1 2…ppn-1有含奇个 ，则 p数n须取必 。成 此因若a令表 示n位十进数中制出偶现个数位十进 制数中出现数偶5的数个的 此若因令n表示 位十进制中数现出偶数 的个的 个数数，表示 出现数个奇的5数个数 的数的个数，的个 ，数n表示出b现数个奇的 数的个，则数有 an= 9a 1 + nn1b, bn = 9nb1 +a n1 ,a1=,b1=8. 1,

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的母函数为A()x{bn},母函数的 为的函母数B为(x,) 则 设a{n}的母函数 ，为的 母数为 函，+) ______________ ________ ________A (x ) = 1a +a2 x +a3 x + 2 9xA x() =91 x a92 xa2 x B(x ) = b1 x2 b x 2(1 9 ) x( Ax) x (Bx )= 8或利者用_________ ____________ _______+)

2x :3x:a =2 a91+ b1 a3 =9a 2+b 2 A x( ) = 8 x9(A x)+ Bx( )x1( x9)A (x) x B(x) = 8

类

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的似还有 (Bx ) =1 b+b x2+ 3bx 2 9+ B (x x ) 9=1b x92bx 2 x( xA) = 1a a2 x x 2

) ____+_____ __________ ___________(1 x9B() x )x A () x=1这样 就得了到关A于x()B和x)的联(立程组方 和：的联立方 程组：这样 得到了关于就 的立联程方 组 (1 9 x ) A ( ) xxB (x ) =, x8(A x) (1+ x9 )B x ( )= , 可以解1:得可以 解得 ：17 + x8A (x ) , =1 (8x)1(10x

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)由 1 7 9 于 1 ∞A (x )= + ∑=( 78 n+ 9 10n ) xn , 2 1 8 1x 1 x0 2n = 0此有因 n 17 9n 1 n = a8 +01 .2 2解：另位十 制进共数9有 ×另： 解-n位1进十数制有 共1×0n-个2要么，含奇 位十有制数进有共 个5数，要么有偶数个5。含故： 数有 个，么含要有偶个数 。有故 a: n 9=n1 a bn + , 1此有b因 n1= 9 1×0 2 ann .1

n = aan18+ 9 10n 2× ,a1 = 8.

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_________ __________ __________(_ 81)xA( x = 8)+ ( a2 8a 1) +x (a 83a )2x2 + = 8 9+ x+ 9 10 x2 + x9 8 71 x =8+= 101x 1 10 x 1 ∞ = (7∑ 8n +9 0n1 )x ,n 2n= 0 n 1 7 9n 1an =8+ 1 0. 2 2A(x ) =1a+ 2 xa+ 3 ax 2 + xA8( x) = 81ax 8a 2 2x 因此有

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不同的个素a元中 r个做允许重取复例 2 从个n不同元的 1,a素2…,,an中取个 允许做重 个复不同元素的的组 合 ，的组，求合同的组合不 C(n数 r, 这)的组样合可分以两种为况情 ：这样的组合以分为可两种情况：( )1不出现 1, 相当这从其他 于元个素中 取做个 出不a现 相当于从这他n其-1个元中取 个元素中素r个取 可重做组；合 重可组； (合)2 现出1 ,相这于当 个元从素取中 做可重个 组出现 a这相当从n个元于中素 取元个素取中r-1做可个组 合再重加a上合再加 上。1此因有(C,n )r= Cn(,r ) 1+ Cn (1, r) 初始条.为件 (nC1) , =n C,n( ,1) 1 =n 1 ,此还因可令 C(以n,0 )=1 .

中有

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个参 递推关系 2C(n,r )= Cn(,r …… 此处隐藏：3945字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……