第4章 随机信号的功率谱密度

随机过程分析

第四章 随机信号的功率谱密度§1 功率谱密度 信号可用能量特征来加以区别。 信号可用能量特征来加以区别。 能量信号：总能量为有限值而平均功率为零的信号； 能量信号：总能量为有限值而平均功率为零的信号； 功率信号：平均功率为有限值而总能量为无穷大的信号。 功率信号：平均功率为有限值而总能量为无穷大的信号。 例如： 若 x ( t ), t ∈ [ T , T ] , 则 例如： 信号能量为： 信号能量为： 平均功率为： 平均功率为：

∫

T T

x 2 ( t )dt

,

1 2T

∫

T T

x 2 ( t )dt

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若 x ( t ) , t ∈ [ ∞,+∞] , 则 总能量为： 总能量为：limT→∞

∫

T T

x 2 ( t )dt < ∞

能量信号 功率信号

1 lim 平均功率： 平均功率： T →∞ 2T

∫

T

T

x 2 ( t )dt < ∞

确知信号的能量谱密度与功率谱密度 非周期信号的能量为： ∵ 非周期信号的能量为：1 W = lim ∫ x ( t )dt = T → ∞ T 2πT 2 T

∫

∞

∞

| X T ( ω ) | dω = ∫ | X T ( f ) | df ∞

2

∞

2

其中, 为一付氏变换对; 其中 xT ( t ) XT ( ω ) 为一付氏变换对2 1 ∞ Parseval定理 ∫ ∞ x ( t )dt = ∫ ∞ | XT ( ω ) | dω 。 定理 2π +∞ 2 T

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| XT ( ω ) |2 为能量谱密度函数，由能量与平均功率的关系 为能量谱密度函数， 故

P = lim ∫

T

T → ∞ T

2 xT ( t ) 1 dt = lim T →∞ 2π 2T

| X T ( ω ) |2 ∫ T 2T dωT

由此可定义其功率谱密度函数为： 由此可定义其功率谱密度函数为：| X T ( ω ) |2 G ( ω ) = lim 。 T →∞ 2T

为一功率信号， ∴ 若 x( t )为一功率信号，则其功率谱密度函数为 | X T ( ω ) |2 G ( ω ) = lim T →∞ 2T 问题：对确知的功率信号有上述的结论。 问题：对确知的功率信号有上述的结论。而对功率型的平 稳随机信号情况如何呢？ 稳随机信号情况如何呢？

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为功率型平稳随机信号。 设 X( t )为功率型平稳随机信号。 由于随机信号的每一样本函数( 或实现) 由于随机信号的每一样本函数 ( 或实现 ) 都是一个确 因此， 定的时间函数 x(t , ξ i ) ,因此，对于每个样本函数都可以求 得对应的功率谱密度函数， 得对应的功率谱密度函数，即 | xT (t , ξi ) |2 | XT (ω , ξi ) |2 GX (ω , ξ i ) = lim = lim , T →∞ T →∞ 2T 2TGX (ω ,ξi ) 称为样本函数的功率谱密度函数。 称为样本函数的功率谱密度函数 样本函数的功率谱密度函数。

由于随机信号的随机性，各样本函数不同， 由于随机信号的随机性，各样本函数不同，故任一样本 函数对应的功率谱密度函数都不能用来代表随机过程的功 率谱密度函数。因此，只有将所有可能出现的每一个样本 率谱密度函数。因此，只有将所有可能出现的每一个样本 函数的功率谱密度函数的统计平均

值作为随机过程的功率 函数的功率谱密度函数的统计平均值作为随机过程的功率 谱密度函数才是合理的。 谱密度函数才是合理的。

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一个随机过程的功率谱密度函数为 随机过程的功率谱密度函数为： ∴一个随机过程的功率谱密度函数为：| XT (ω, ξ i ) |2 | xT (t , ξ i ) |2 GX (ω) = E[G(ω, ξ i )] = E[lim ] = E[lim ] T →∞ T →∞ 2T 2TGX (ω ) 称为随机过程的功率谱密度函数。由此可得随机过程的 称为随机过程的功率谱密度函数。

平均功率： 平均功率： 1 +∞ P= ∫ ∞ GX ( ω )dω 2π 1 T 1 T 2 = lim ∫ E [ xT ( t , ξi ) ]dt = lim ∫ E [ X 2 ( t )]dt T →∞ 2T T T →∞ 2T T E [| XT ( ω , ξi ) |2 ] 1 +∞ dω = ∫ ∞ Tlim →∞ 2π 2T1 lim 其中， 其中， → ∞ T 2T E [ X 2 ( t )]dt 为均方值的时间平均。 为均方值的时间平均。 ∫ TT

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X( t )为平稳过程时，则 E [ X 2 ( t )] = R X ( 0 ) = 常数， 为平稳过程时， 常数， 当 故有 1 +∞ 2 P = E [ X ( t )] = RX ( 0 ) = ∫ ∞ GX ( ω )dω 。 2π

为各态历经过程时， 当 X( t ) 为各态历经过程时，则 x( t,ξ ) = X( t ), 故有| XT (ω , ξ i ) |2 GX (ω) = GX (ω , ξ i ) = lim 。 T →∞ 2T

两者依概率1相等。 两者依概率 相等。 相等

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§2 功率谱密度与自相关函数的关系2 j t 由 X T (ω , ξ i ) = ∫ T xT (t , ξ i )e ω dt 与 | X T (ω , ξ i ) | = X T (ω , ξ i ) X T ( ω , ξ i ) 可证： 可证： 1 G X ( ω ) = lim E [ | X T ( ω , ξ i ) |2 ] T →∞ 2T T 1 T jω t1 xT ( t1 , ξ i )e dt1 ∫ xT ( t 2 , ξ i )e jω t 2 dt 2 ] = lim E [ T T →∞ 2T ∫ T 1 T T E [ X T ( t1 ) X T ( t 2 )]e jω ( t 2 t1 )dt1dt 2 = lim T → ∞ 2T ∫ T ∫ TT

∴ RXT ( t1 ,t2 ) = E[ XT ( t1 )XT ( t2 )], T ≤ ( t1 ,t2 ) ≤ T1 G X ( ω ) = lim T → ∞ 2T

∫ ∫ T

+T

+T

T

R X T ( t 1 , t 2 )e jω ( t 2 t1 ) dt 1 dt 2

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令： = t 1 , τ = t 2 t 1 ,则 t1 G X ( ω ) = lim T → ∞ 2T+∞

∫

T t

T t

[∫T T

T

T

R X ( t , t + τ )dt ] e jωτ d τ

1 = ∫ [ lim ∞ T → ∞ 2T

∫

R X ( t , t + τ )dt ] e jωτ d τ

1 令：R X ( τ ) = lim T → ∞ 2T

∫

T

T

R X ( t , t + τ )dt

RX (τ ) 可看成非平稳过程自相关函数的时间平均。 可看成非平稳过程自相关函数的时间平均。

为平稳过程， 若 X( t )为平稳过程，则 RX ( t , t +τ ) = RX (τ ),故有G X (ω ) =

∫

∞

∞

R X (τ )e jω τ dτ

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由付氏变换条件

∫

∞ ∞

可知， R X (τ ) d τ < ∞ 可知，平稳随机

必须满足： 过程 X(t )必须满足： 1. 不含直流分量； 不含直流分量； 2. 不含周期成分。 不含周期成分。 若含上述成分， 函数加以解决。 若含上述成分，则可引入 δ 函数加以解决。

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§3 功率谱密度的性质| X T ( ω , ξ ) |2 lim 因为各态历

经平稳过程 G X ( ω ) = T → ∞ 因为各态历经平稳过程 2T

1. 2. 3. 4. 5. 6.

非负性， 非负性，GX(ω)≥0 ; GX(ω)为实函数； 为实函数； 为实函数 GX(ω)为偶函数； 为偶函数； 为偶函数 GX(ω) 为有理函数； 为有理函数； GX(ω)不含相位信息； 不含相位信息； 不含相位信息

Q E [ X T (ω ) ] ≥ 02

Q XT ( ω ) 为实函数2

为偶函数 Q XT ( ω ) = XT ( ω )XT ( ω )2

Q XT ( ω ) 已不含相位信息2

Q X T ( ω ) = X T ( ω ) X T ( ω ) dX ( t ) GX′(ω)= ω2 GX(ω) , 其中 ′( t ) = X dt2

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§4 互谱密度及其性质一、 互谱密度 设 Z ( t ) = X ( t ) + Y ( t ) ,则 RZ ( t , t + τ ) = E {[ X ( t ) + Y ( t )][ X ( t + τ ) + Y ( t + τ )]} = R X ( t …… 此处隐藏：3792字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……