2014年彭湃中学高中数学竞赛辅导试题：二次函数 2(2)

证明：构造二次函数 f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(anx-bn)2=( a12+a22+…

+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+( b12+b22+…+b2n).当a12+a22+…+a2n≠0即a1,a2,…,an不全为零时，显然有对x∈R，f(x)≥0，故f(x)＝0的判别式：Δ=4（a1b1+a2b2+…+anbn）2-4(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)≤0.即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n) 。

当a1=a2=…=an=0时，结论显然成立，故命题成立。

五、联赛辅导题

1、已知f(x) ax2 2bx 4c(a,b,c R)

（1）当a 0时，若函数f (x)的图象与直线y x均无公共点，求证4ac b2

3

（2）b 4,c 时对于给定的负数a 8，有一个最大的正数M（a），使得

4

1; 4

x [0,M(a)]时都有|f(x)| 5，问a为何值时，M(a)最大，并求出这个最大值M(a)，证明你的结论. 答案：

高中数学联赛 二次函数

（Ⅰ） f(x)的图象与y=x无公共点.

ax2 2bx 4c x,即ax2 (2b 1)x 4c 0无实根.从而 (2b 1)2 16ac 4b2 16ac 1 4b 0.(3分)

同理,由f(x)的图象与y x无公共点,得4b2 16ac 1 4b 0

1

二式相加,得4ac b2 .(5分)

4

416

f(x) a (x )2 3 .

aa

16

a 0,所以f(x)max 3

a

164

a 8时,3 5,此时M(a) .

aa

（Ⅱ） 所以,M(a)是方程ax2 8x 3 5的较大根.(8分)

4 2a 2

当且仅当a 8时,等号成立.因此当a 8时,M(a)取最大值M(a)

8 64 32a

2a

4

420 2

12

5 1

.2

(14分)

2、 设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y＝(k2＋k＋1)x2－2(a＋k)2x＋(k2＋3ak＋b)的图象与x轴都交于点A(1，0).

① 求a、b的值；② 若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值. 分析：由A在曲线上，得k的多项式对k恒成立，即可求的a，b值. 解：⑴由已知条件，点A(1，0)在函数图象上， 故(k2＋k＋1)－2(a＋k)2＋(k2＋3ak＋b)＝0 整理得：(1－a)k＋(b＋1－2a2)＝0

∵ 对k∈R，上式恒成立，∴ 1－a＝0且b＋1－2a2＝0 从而a＝1，b＝1，y＝(k2＋k＋1)x2－2(k＋1)2x＋(k2＋3k＋1)

⑵设B(α，0)，则|AB|＝|α－1|，∵(k2＋k＋1)x2-2(k＋1)2x＋(k2＋3k＋1)＝0的两个根为1、α，

k2 3k 1由韦达定理，1 α＝ 2

k k 1

整理得：(1－α)k2＋(3－α)k＋(1－α)＝0，α＝1时，得2k＝0 k＝0 α≠1时，∵ k∈R，∴ △≥0，即(3－α)2－4(1－α)2≥0 得：－1≤α≤

5

且α≠1，综合得：－1≤α≤3

5，∴ －2≤α－1≤3

2 3

∴ |AB|＝|α－1|∈[0，2]即|AB|的最大值为2.

3、定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(

x1 x21

)≤［f(x1)+f(x2)］

，则22

高中数学联赛 二次函数

称函数f(x)是R上的凹函数.已知函数f(x)＝ax2+x(a∈R且a≠0)，

(1)求证：当a＞0时，函数f(x)是凹函数；

(2)如果x∈［0，1］时，│f(x)│≤1，求实数a的范围. 答案：

.(1)证明：对任意x1、x2∈R，∵a＞0，∴f(x1)+f(x2)－2f(=ax12+x1+ax22+x2－2［a(∴f(

x1 x2

) 2

x1 x22x1 x21

)+］=a(x1－x2)2≥0. 222

x1 x21

)≤［f(x1)+f(x2)］，∴f(x)是凹函数. 6分 22

(2)解：由│f(x)│≤1 －1≤f(x)≤1 －1≤ax2＋x≤1.( * )

当x＝0时，a∈R; 当

7分

10分

111121 a ( ) 2xx24 x

x∈(0，1)时，由( * )得 恒成立.

111112 a ( ) x24x2x

当x∈(0，1]时，

11111

≥1.当=1时，－(+)2+取最大值－2; xxx24

111

同时(－)2－取最小值0，∴－2≤a≤0.

x24

∵a≠0，∴－2≤a＜0. 14分

4、对于函数f(x) ax2 bx 1（a＞0），如果方程f(x) x有相异两根x1，x2．

（1）若x1 1 x2，且f(x)的图象关于直线x＝m对称．求证：m ； （2）若0 x1 2且|x1 x2| 2，求b的取值范围；

（3） 、 为区间[x1，x2]上的两个不同的点，求证：2a (1 b)( ) 2 0．

答案：（1）g(x) f(x) x ax2 (b 1)x 1，且a＞0．因为x1 1 x2，所以(x1 1)(x2 1) 0，

b1b 11

( ) 2a2aa

11111

(x1 x2) x1x2 (x1 x2) [(x1 x2) 1] ． （2）由方程g(x) ax2 (b 1)x 1 0， 22222

1

可知x1x2 0，所以x1、x2同号．由0 x1 2，则x2 x1 2，所以x2 2 x1 0，所以g(2) 0，

a

12

即x1x2 x1 x2 1，于是x m

(b 1)242

2a 1 (b 1) 1， 4即4a＋2b-1＜0，又(x2 x1) ，所以（因为a＞0）代入①式得：2

aa

2

2(b 1)2 1 3 2b，解之得b

11 b1． （3）由条件得x1 x2 ，x1x2 ，不妨设 ，则4aa

0 2( x1)

( x2) 2 2( x1 x2) 2x1x2 2 2(x1 x2)( )

2x1x2

高中数学联赛 二次函数

(x1 x2)( ) 2 2(x1 x2)( ) 2x1x2 2a (1 b)( ) 2， 故2a (1 b)( ) 2 0．