2014年彭湃中学高中数学竞赛辅导试题：二次函数 2

高中数学联赛 二次函数

彭湃中学2014级数学竞赛辅导专题一 二次函数

一、二次函数的解析式:①一般式：f(x)=ax2+bx+c.②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k.③零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2).(a≠0)

二、二次函数的最值:当自变量的取值范围为闭区间[p,q]时，其最值在f(p)、f(q)、f( 三者中取得，最值情况如下表：

b)2a

例1：来源：01全国高考 题型：解答题，难度：中档

设a为实数，函数f(x) x2 |x a| 1，x R （1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求f(x)答案：

解：（I）当a 0时，函数f( x) ( x)2 | x| 1 f(x)

此时，f(x)为偶函数当a 0时，f(a) a2 1，f( a) a2 2|a| 1，

f(a) f( a)，f(a) f( a)此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 13

（II）（i）当x a时，f(x) x2 x a 1 (x )2 a

24

当a

1

，则函数f(x)在( ,a]上单调递减，从而函数f(x)在( ,a]上的最小值为2

1131

，则函数f(x)在( ,a]上的最小值为f() a，且f() f(a)． 2242

f(a) a2 1．若a

13

（ii）当x a时，函数f(x) x2 x a 1 (x )2 a

24

1131

若a ，则函数f(x)在( ,a]上的最小值为f( ) a，且f( ) f(a)

2242

1

若a ，则函数f(x)在[a, )上单调递增，从而函数f(x)在[a, )上的最小值为

2

f(a) a2 1．

31

综上，当a 时，函数f(x)的最小值为 a

42

当

11

a 时，函数f(x)的最小值为a2 1 22

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当a

13

时，函数f(x)的最小值为 a． 24

例2：已知函数f(x)=ax2 bx c，其中a N*,b N,c Z.

（1）若b>2a,且 f(sinx)(x∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值； （2）若对任意实数x，不等式4x f(x) 2(x2 1)恒成立,且存在x0使得f(x0) 2(x20 1)成立，求c的值。 答案：

f(sinx)=asin2x bsinx c

b

1, 对称轴在x 1左边 2a

f(sinx)min f( 1) 4, f(sinx)max=f(1)=2,

a b c 4, b 3,

a b c 2, c 1 a,又b>2a>0, a 1,c 2. f(x) x2 3x 2.

f(x)min

17

(7分) 4

(2) 4x f(x) 2(x2 1), 4 f(1) 2(1 1) 4, f(1) 4.(1分)

a b c 4,即b 4 (a c).(1分)

又 f(x) 4x,即ax2 (b 4)x c 0恒成立. (b 4) 4ac 0,即( a c)2 4ac 0,

(a c)2 0, a c.(2分)

b 4 2a 0,a 2,又a N. a 1或a 2.(1分)

*

当a 2时,c 2, b 0, f(x) 2x2 2.

2

不存在 x0使f(x0) 2x0 2.

当a=1时，c=1, b 2, f(x) x2 2x 1.

2

此时存在x0,使f(x0) 2(x0 1).故c 1.(2分)

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配套练习1. 当x为何值时，函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取最小值。 解：f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+ …+(x2-2anx+an2) =nx2-2(a1+a2…+an)x+(a12+a22+…+an2) ∴当x=(a1+a2…+an)/n时，f(x)有最小值.

配套练习2.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根，x12+x22的最大值是____.

解：由韦达定理得：x1＋x2=k-2，x1x2=k2+3k+5. ∴x12+x22＝（x1＋x2）2-2x1x 2=(k-2)2-2(k2+3k+5)

=-k2-10k-6=-(k+5)2+19 .已知x1,x2是方程的两个实根，即方程有实数根，此时方程的判别式Δ≥0，

即Δ＝(k-2)2-4(k2+3k+5) =-3k2-16k-16≥0

44450

解得：-4≤k≤ .∵k=-5[-4, ]，设f(k)=-(k+5)2+19则f(-4)=18,f( )= <18.

3339

∴当k=-4时，(x12+x22)max=18.

配套练习3.已知f(x)=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。

解：f(x)=(x-1)2+1

(1)当t+1<1即t<0时，g(t)=f(t+1)=t2+1 (2)当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g(t)=f(1)=1 (3)当t>1时，g(t)=f(t)=t2-2t+2

综合（1）、（2）、（3）得：

三、二次函数与二次方程

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。

1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件 ∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f(x)的图象有下列两种情形

当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜

b

＜β，f(α)＞0，f(β)＞0 2a

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b

＜β，f(α)＜0，f(β)＜0 2a

b

两种情形合并后的充要条件是：Δ＞0，α＜ ＜β，af(α)＞0，af(β)＞0 ①

2a

2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件

当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜

∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形

从四种情形得充要条件是：f(α)·f(β)＜0 ②

3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件 （1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时

∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)

的图象有下列两种情形

（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时

∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形

b

＜α，af(α)＞0 ④ 2ab

当β＜x1＜x2时的充要条件是Δ＞0， ＞β，af(β)＞0 ⑤

2a

当x1＜x2＜α时的充要条件是Δ＞0，

例3．如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，确定m的范围。

解：令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根据题设条件，f(x)的图形是下列两种情形之一：

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则（1-m2）f(0)＜0,(1-m2)f(1)＜0；即1-m2＞0,(1-m2)(2m-m2)＜0解得：-1＜m＜0 例4：（07年广东高考理科数学20题）

已知a是实数，函数f(x) 2ax2 2x 3 a，如果函数y f(x)在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。

解析1：函数y f(x)在区间[-1，1]上有零点，即方程f(x) 2ax2 2x 3 a=0在[-1，1]上有解， a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>f( 1) f(1) 0或

af( 1) 0 af(1) 0

4 8a(3 a) 0 1 a

5或a

1 [ 1.1] a

或a

5 a

或a≥1. 所以实数a

的取值范围是a

或a≥1. 解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又

12x2 1

∴f(x) 2ax 2x 3 a=0在[-1，1]上有解， (2x 1)a 3 2x在[-1，1]上有解 在[-1，

a3 2x

2

2

2x2 1

1]上有解，问题转化为求函数y [-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则2x 3 t，t

3 2x1(t 3)2 217

∈[1,5],y (t 6)，

2t2t

7t2 7

设g(t) t .g'(t)

2，t 时，g'(t) 0，此函数g(t)

单调递减，t 时，g'(t)>0,此函数

tt

g(t)单调递增，∴y

的取值范围是3,1]，∴f(x) 2ax2 2x 3 a=0在[-1，1]上有解

3,1] a

1或a 1

∈a

配套练习4：.已知方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则p的取值为_________. 配套练习5：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内， …… 此处隐藏：3149字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……