概率论与数理统计-章节习题加总结-华南理工大学 (3)(2)

11dx当-1 y 1 1 y

fY(y) y

0 其他 0

所以，当0 x 1时，

当-1 y 1

其他

1

当y xf(x,y)

fY|X(y|x) 2x

fX(x)

其他 0

当y 1时，

1

f(x,y)

fX|Y(x|y) 1 y

fY(y)

0

例8 设随机变量(X,Y)的概率密度为

当y x 1其他

1 (x y)

当x 0,y 0 (x y)e

f(x,y) 2

其他 0

试求：（1）X和Y是否独立？（2）Z X Y的概率密度.

解 （1）X的边缘密度为

1

(x y)e (x y)dy当x 0 0

fX(x) 2

当x 0 0

1 x

当x 0 (x 1)e

2

当x 0 0

同理，Y的边缘密度为

1 y

当y 0 (y 1)e

fY(y) 2

当y 0 0

当x 0,y 0时，

f(x,y)

11

(x y)e (x y) (x 1)(y 1)e (x y) fX(x)fY(y) 24

因此，X与Y不独立. （2）Z的概率密度为

fZ(z)

f(x,z x)dx

z

11

(x z x)e zdx z2e z (z 0) 22

当z 0时，fZ(z) 0，所以

12 z

当z 0 ze

fZ(z) 2

当z 0 0

例9 设X、Y是相互独立的随机变量，X~P( 1),Y~P( 2).证明： 证 因为X、Y分别服从参数为 1、 2的泊松分布，故X、Y的分布律分别为

P{X k}

1k

k!

e 1 ( 1 0)

P{Y r}

而Z X Y的分布律为

2r

r!

e 2 ( 2 0)

P{Z i} P{X k}P{Y i k}

k 0

k 0

ii

1k

k!

e

1

2i k

(i k)!

e 2

e ( 1 2)

i!

1i!

1k 2i k k 0k!(i k)!

i

( 1 2)i ( 1 2)

e2, (i 0,1, i!

即Z X Y服从参数为 1 2的泊松分布.

例10 在10件产品中有2件一级品、7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回地抽取3件，用X表示其中的一级品件数，Y表示其中的二级品件数.（1）求X与Y的联合分布；（2）求X、Y的边缘分布；（3）X与Y相互独立吗？（4）求在X 0的条件下， Y的条件分布，以及在Y 2的条件下X的条件分布.

[思路点拨]对于二维离散随机变量，用表格的形式表示它们的联合分布律，这便于求边缘分布及判定相互独立.

解 （1）根据题意，X只能取0,1,2三个值；Y只能去0,1,2,3四个值，要求(X，Y)的联合分布律，就是求X与Y在各种搭配下的概率，由古典概率公式得

iC2C7jC1k

(i j k 3;i 0,1,2j; pij P{X i,Y j} 3

C10

0,1,k2 ,3;

将(i,j)取各种值的概率逐个算出，即得(X,Y)的联合分布列：

pijY 0 1 2 3

0 0 0 120 120 1 0 1442

120 120 0

2 17

120 120

0 0

（2）由（1）可得X、Y的边缘分布分别为

X 0 1 2

P

56120 568120 120

Y 0 1 2 3 P 12163120 120 120 120

（3）因为P{X 0,Y 0} 0，但P{X 0}P{Y

01561

20120

，P{X 0,Y 0} P{X 0P}Y{ ，因此X与Y并不相互独立.

（4）在X 0的条件下，Y的条件概率为

P{Y j|X 0}

P{X 0,Y j}

P{X 0}

(j 0,1,2, 3

因此，Y的条件分布为

0123 0123

002135， 即 35

5656

0088 类似地，在Y 2的条件下，X的条件分布为

012

12 330

例11 设(X,Y)的联合概率密度为

1

f(x,y)

当0 x 1,0 y 2 2

0其他

所以0

求X与Y中至少有一个小于

1

的概率. 2

[思路点拨]利用对立事件的目的，在于容易确定二重积分的积分限，这是解本题的关键. 解 P (X ) (Y ) 1 P X 1

12

1 2 11 ,Y 22 f(x,y)dxdy

1

2

12

1

12

12

12

15dxdy 28

例12 一旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7点55分至8点之间，而火车在

这段时间开出的时刻为Y，且Y具有密度函数.

2

(5 y)当0 y 5

fY(y) 25

其他 0

求旅客能乘上火车的概率.

[思路点拨]找出X、Y之间的关系是解本题的关键.

解 因为X均匀分布在7点55分至8点之间，将7点55分作为时间轴（单位：分）的起点，则X在区间[0,5]上服从均匀分布，其密度函数为

1

当0 x 5

fX(x) 5

0其他

（X，Y）由于X与Y之间互不影响，可认为相互独立，于是可得的联合密度函数为

1

(5 y)当0 x 5,0 y 5

f(x,y) 125

其他 0

事件“旅客能乘上火车”可以表示为“Y X”，也就是“0 Y X 5”，因此问题

归结为求“0 Y X 5”的概率.所求概率为

P{0 Y X 5}

0 y x 5

f(x,y)dxdy

五、课本习题全解

4-1

1 2 3

Y

612

111

2

66611

3 0

126

1 0

i4 i j

C3C5jC2

4-2 P{X i,Y j} 4

C10

1

1

4-3 由于

f(x,y)dxdy Axydxdy A xdx ydy

R

A

1， 4

故A 4，代入密度函数，得

4xy当0 x 1,0 y 1

f(x,y)

0其他

111112

所以 P{X ,Y 4 xdx 3ydy

002336

4-4 （1）当X 0且Y 0时，F(x,y)

当x 0或y 0时，F(x,y) 0.

x

du e (u v)dv (1 e x)(1 e y)；

y

(1 e x)(1 e y)当0 x ,0 y

所以 F(x,y)

其他 0

（2）由于D {(x,y):x 0,y 0,x y 1}，有

P(X,Y) f(x,y)dxdy dx

D

11 x

e (x y)dy 1 2e 1

1

4当(x,y) B 4-5 由题意可知：f(x,y) 1

22

其他 0

当x

1

或y 0时，F(x,y) 0； 2

当

xy1

x 0且0 y 2x 1时，F(x,y) y 1 4dudv 2y(2x y 1)；

022

x2x 11

4dudv 2(2x 1)2； 当 x 0且y 2x 1时，F(x,y) 1 022

当x 0且0

y 1时，F(x,y) y 1 4dudv 2y( y 1)；

2

xy

当x 0且y 1时，F(x,y) 1.

0

2y(2x y 1)

因此 F(x,y)

2(2x 1)2

2y(1 y) 1

4-6

1

当x 或y 0

21

当 x 0且0 y 2x 1

2

1

当 x 0且y 2x 1

2

当x 0且0 y 1当x 0且y 1

P{X 0}

715 ， P{X 1} ， ， P{Y 0}12612

5111

P{Y 1} ， P{X 2} ， P{Y .

123312