概率论与数理统计-章节习题加总结-华南理工大学 (3)

第4章 二维随机变量

一、大纲要求

（1）理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的意义、性质及其基本形式：离散型联合分布、边缘分布和条件分布；连续型联合概率密度、边缘密度和条件密度.会利用二维概率分布求有关事件的概率.

（2）理解二维随机变量的独立性及不相关的概念，掌握二维离散型和连续型随机变量独立的条件.

（3）掌握二维均分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.

（4）会求两个独立的二维随机变量的简单函数的分布.

二、重点知识结构图

三、基本知识

1.二维随机变量及其分布

定义1 设E是一个随机实验,它的基本空间为 { }x1( ),x2( ), ,xn( )是定义在这个基本空间 上的n个随机变量,则X=(x1( ),x2( ), ,xn( ))称n维随机变量.

定义2 设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数x、y,二元函数 F(x,y)=P{X x,Y y}称为(X,Y)的联合分布函数.

定理1 F(x,y)为二维随机变量(X,Y)联合分布函数，则 （1）F(x,y)对每个变量是单调不减的函数，即 当x1 x2时，F(x1,y) F(x2,y)； 当y1 y2时，F(x,y1) F(x,y2). （2）F(x,y)对每个变量是左连续的，即

F(x 0,y) F(x,y),F(x,y 0) F(x,y).

（3）F( ,y) F(x, ) F( , ) 0,F( , ) 1. （4）对任意两点(x1,x2),(y1,y2),若

x1 x2,y1 y2

，则

F(x2,y2) F(x2,y1) F(x1,y2) F(x1,y1) 0.

2．二维离散型随机变量

定义 若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值是有限或可列多对

(xi,yi),(i,j 1,2, )，则称（X，Y）的联合分布律（概率函数）.其具有以下性质：

①0 pij 1(i,j 1,2, ). ② pij 1.

i 1j 1

离散型随机变量（X，Y）的分布函数，可用分布律表示为

F(x,y) P{X xi,Y yj} pij.

xi xyj y

xi xyj y

3．二维连续型随机变量

定义 若二维随机变量（X，Y）的分布函数F(x,y)是二元连续函数，且可表示为积分的形式：

F(x,y)

x

y

f(u,v)dudv

则称（X，Y）是二维连续型随机变量.被积函数f(x,y)为（X，Y）的联合概率密

度，其具有如下性质： ①f(x,y) 0. ②

f(x,y)dxdy 1.

称以

f(x,y) {

的面积.

称密度函数

f(x,y)

12 1 2

2

1/SD,当(x,y) D0,其它

为密度函数的二维随机变量（X，Y）服从二维均匀分布.其中SD为平面区域D

e

[(

x 1

1

) 2 (

x 1

1

)(

y 2

2

) (

y 2

2

)2]/2(1 2)

2

为二维正态分布，记作(X,Y)～N( 1, 2, 12, 2, ).

4．边缘分布

若二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，则称随机变量X或Y的分布函数Fx(x)或FY(y)为F(x,y)的边缘分布函数; 对于二维离散随机变量（X，Y），其边缘分布律为

pi P{X xi} P{X xi,Y yj} pij（i=1,2, ）

j

j

p j P{Y yj} P{X xi,Y yj} pij（j=1,2, ）

i

i

对于二维连续随机变量（X，Y），其边缘密度函数为

fX(x) f(x,y)dy,fY(y) f(x,y)dx

5 条件分布

对二维离散型随机变量，当p j>0时，称

P{X xi|Y yj}

P{X xi,Y yj}P{Y y j}

pijp j

（i=1,2, ）

为Y=yj条件下X的条件分布律. 类似地，当pi >0时，称

P{Y yj|X xi}

pijpi

（j=1,2, ）

对二维连续型随机变量，当fY(y) 0时，称fX|Y(x|y) 为Y=y条件下X的条件密度.

f(x,y)

（ x ） fY(y)

类似地，当fX(x) 0时，在X=x条件下Y的条件密度为

fY|X(y|x)

f(x,y)

（ y ） fX(x)

6．二维随机变量的相互独立性 定义 若对任意实数x、y有

F(x,y) FX(x)FY(y)

则称随机变量X、Y互独立的.

对二维离散型随机变量，X、Y相互独立的充要条件是：对任意一组可能值xi、

yj,有

P{X xi,Y yj} P{X xi}P{Y yj}

即 pij pi pj （i,j=1,2, ）

对二维连续型随机变量，X、Y相互独立的充要条件是：对任意x、y,有

f(x,y) fX(x)fY(y) 四、典型例题

例1设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P{X 1} P{Y 1}

P{X 1} P{Y 1}

1

,则下列各式中成立的是（ ）. 2

1

(B) P{X Y} 1 211

(C) P{X Y 0} (D) P{XY 1}

44

(A) P{X Y}

解 P{X Y} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1}

=

11111

×+×= 22222

P{X Y 0} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1}

=

11111

×+×= 22222

P{XY 1} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1}

11111×+×= 22222

所以B、C、D项均不对，只有A项正确.

=

例2（1999年研究生入学考试数学四）已知随机变量X1和X2的概率分布为

1 1 10 0

X1～ ，X2～ 1/21/2 ， 1/41/21/4

且P{X1X2 0} 1，求X1和X2的联合分布列. 解 由P{X1X2 0} 1，有P{X1X2 0} 0，故

p12 P{X1 1,X2 1} 0,p32 P{X1 1,X2 1} 0. 由p11 0 1/4,得p11 1/4；由p31 0 1/4,得p31 1/4； 由p11 p21 p31 p 1，即1/4 p21 1/4 1/2 ，得p21 0； 最后由p21 p22 p2 ，即0 p22 1/2，得p22 1/2. 于是所求的X1和X2的联合分布列

X1 0 1 i X2

p j 1/2 1/2 1

例3甲乙两人独立地进行两次射击，设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X、Y

分别表示甲和乙的命中次数，试求X和Y的联合分布率.

解 设事件Ai={甲第i次击中}，Bi={乙第i次击中}，则事件Ai={甲第i次未击中}，Bi={乙第i次未击中}，（i=1,2）,且由两次实验（射击）相互独立可知Ai、Bi相互独立，又P(Ai) 0.2，P(Bi) 0.5，P(Ai) 0.8，P(Bi) 0.5，引入随机变量

1当Ai发生 1当Bi发生

Xi (i 1,2) Yi (i 1,2 )

0当Ai不发生 0当Bi不发生

则P{X 0}P{X1 0,X2 0} P(A1A2) P(A1)P(A2) 0.64

P{X 1} P{X1 0,X2 1} P{X1 1,X2 0} =P(A1)P(A2) P(A2)P(A1) =0.8 0.2 0.8 0.2 0.32

P{X 2} P{X1 1,X2 1} P(A1)P(A2)

=0.2 0.2 0.04

P{Y 0} 0.25,P{Y 1} 0.5,P{Y 2} 0.25 于是X、Y的分布列分别为

X 0 1 2 X 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 P 0.25 0.5 0.25 由于Ai、Bi相互独立，故X、Y相互独立，则

pij P{X i,Y j} P{X i}P{Y j} （i,j=0,1,2） 因此得P{X 0,Y 0} 0.16，P{X 0,Y 1} 0.32， P{X 0,Y 2} 0.16，P{X 1,Y 0} 0.08， P{X 1,Y 1} 0.16，P{X 1,Y 2} 0.08， P{X 2,Y 0} 0.01，P{X 2,Y 1} 0.02， P{X 2,Y 2} 0.01.

所求的联合分布列为

0 1 2 X

例4设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）服从均匀分布，Y的概率密度为

1 y/2

当y 0 e

fY(y) 2

当y 0 0

（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设有a的二元方程a2 2Xa Y …… 此处隐藏：2921字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……