圆锥曲线知识点总结(2)

（3）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝

6

，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交2

于A、B两点，且是AF2与BF2等差中项，则＝_______

（4）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且 F1PF2 60 ，

S PF1F2 ．求该双曲线的标准方程。

5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：

p

若抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），过抛物线的焦点F（，0）的直线交抛物线与

2A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则 p2

(1) y1y2＝－p；x1x2＝ ；

4

2

(4)过A、B两点分别作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，

由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|＝|AA/|，|BF|＝|BB/| ∴∠B/BF＝1800－2∠B/FB，∠A/AF＝1800－2∠A/FA

由∵AA/∥BB/ ∴∠B/BF＋∠A/AF＝1800 即：1800－2∠B/FB＋1800－2∠A/FA＝1800

//0∴∠BFB＋∠AFA＝90

（5） N为线段AB的中点，过A、B、N分别作准线的垂线，

垂足分别为A/、B/、N/，

|AA/|＋|BB/|/

∵N为线段AB的中点，则|NN|＝

2|AF|＋|BF||AB| ＝

22

∴以AB为直径的圆与准线相切。

（6）设A， B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)

六．你了解下列结论吗？

⑦题图(2)| AB|＝x1＋x2＋p；通径=2P 112

＋ ； |AF||BF|p

(4) 过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则∠A/FB/＝900； (5) 以弦AB为直径的圆与准线相切。

(6) 设A， B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0) pp 证明：(1)当直线过焦点且垂直于x轴时，A（，p）、B（ ，－p），因此y1y2＝－p2成立； 当直线过焦点且

22不与x轴垂直时，显然直线的斜率k≠0，直线AB的方程为：

pypyp

y＝k（x－ ）；由此的x＋ ；把x＝ 代入y2＝2px消去x得：

2k2k2ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2

∵A（x1，y1）、B（x2，y2）两点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上， ∴y12＝2px1，y22＝2px2；两式相乘得(y1y2)2＝2px1·2px2 ∴p4＝4p2x1x2； p2

从而x1x2＝

4

p

(2)过A、B两点作准线x＝－ 的垂线，垂足分别为A/、B/，

2

nxyx即 0mmnx2y2

2 2 0

mn

0时表示焦点在x轴上的双曲线； 0时表示焦点在y轴上的双曲线；

共渐近线的双曲线系：

1 渐近线方程为：y

x2y2

2 与双曲线2 2 1有相同的渐近线的

ab2

xy2

2 2 0

ab

x2y2

(1)与双曲线 1有共同的渐近线，且过点( 3,2)的双曲线方程为_______

916

(2) 中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是--------

七、圆锥曲线中的最值问题 （1）如图所示，若A（3，2），F为抛物线y2＝2x的焦点，求|PF|＋|PA|

值，以及取得最小值时点P的坐标。

变式：若A（3，5）呢？

（2）.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y x上移动，求AB

2

x2y2

1(x 1) 所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：18

的最小

变式：（1）、一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切，同时与圆x2 y2 6x 91 0内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．

中点

（2 、 已知 ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使sinB sinC

M到y轴距离的最小值，并求此时AB中点M的坐标。

（3）若x,y R，且3x2 2y2 6，则x y的最大值是___，x2 y2值是

（4）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__ 八．动点轨迹方程问题：

1、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

例8图

1

sinA，求点A的2

的最小

分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为解：以底边BC 为x轴，底边BC的中点为原点建立xoy坐标系，这时

1

B( 6,0),C(6,0)，由sinB sinC sinA得

2

1

b c a 6,即|AC| |AB| 所以，点A的轨迹是以B( 6,0),C(6,0)为焦点，2a=6其

2

x2y2

1(x 3) 方程为：

927

（3）．动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )

A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线

解析：由题意可知，动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离，由抛物线定义知动点的轨迹是抛物线．答案：D 4、代入法

当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示，再代入到其他动点要满足的条

例1．点M与定点F(0,2)的距离和它到定直线y 8的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．

变式：已知动点P到定点F(1,0)和直线x 3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．

2、待定系数法：

已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。 例2、 已知椭圆的焦点坐标为

和

，且经过点

，求椭圆的标准方程。

件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.

变式：抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。

3、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.

例3、求与圆(x 3)2 y2 1及(x 3)2 y2 9x2y2

例4：点A位于双曲线2 2 1(a 0,b 0)上，F1,F2是它的两个焦点，求 AF1F2的重心G的轨迹方程

ab

解：设 AF1F2的重心G的坐标为(x,y)，则点A的坐标为(3x,3y)

解：设动圆的半径为r，则由动圆与定圆都外切得

MF1 3 r,MF2 1 r，

又因为MF1 MF2 (3 r) (1 r) 2， 由双曲线的定义可知，点Mx2y2

因为点A位于双曲线2 2 1(a 0,b 0)上，从而有

ab

x2y2(3x)2(3y)2

1(y 0) 2 1(y 0)，即2

abab()2()233

x2y2

1(y 0) 所以， AF1F2的重心G的轨迹方程为a2b2

()()33

M、N两点，A1,A2为双曲线的左、右顶点，求直线A1M与

A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.

解：设P(x,y)及M(x1,y1),N(x1, y1)，又A1( a,0),A2(a,0)，可得 直线A1M的方程为y

变式：如图，从双曲线C:x2 y2 1上一点Q引直线

l:x y 2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.

解：设P(x,y)，Q(x1,y1)，则N(2x x1,2y y1). N在直线l

y1 y1

(x a)①；直线A2N的方程为y (x a)②. x1 ax1 a

2x x1 2y y1

2.① 又PN l得

y y1

1,即x y y1 x1 0.②

x x1

x12y12 y12b22b22222222

①×②得y 2代入③得y 2(x a)，(x a)③. 又 2 2 1, y1 2(a x1)，2

abaax1 a

2

3x y 2

x 3x y 223y x 22 1

2C () () 1 …… 此处隐藏：2974字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……