圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点小结

主备人：袁家英 记录人：陈兆兴 2011年12月21号

圆锥曲线在高考中的地位：

圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以圆锥曲线为载体，与平面

（1）证明：+ 和+ 均为定值；

（2）设线段PQ的中点为M，求∣OM∣·∣PQ∣的最大值；

（3）椭圆C上是否存在三点D, E, G，使得S△ODE = S△ODG = S△OEG =

向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。 (1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。

？若存在，判断△DEG的

形状；若不存在，请说明理由．

(2009年山东卷)设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为

E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。

（2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

+ y2 = 1.如图所示，斜

(3)已知m=1/4,设直线l与圆C:x2+y2=R2(1<R<2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 一.圆锥曲线的定义：

椭圆：平面内与两个定点

椭圆的焦点，两焦点的距离数学语言

：

的距离之和等于定长（大于叫做椭圆的焦距。

高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x = -3于点D（-3，m）.

）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做

（1）求m2 + k2的最小值；

常数2a=常数2a<

，轨迹是线段，轨迹不存在；

；

2

（2）若∣OG∣=∣OD∣·∣OE∣, ① 求证：直线l过定点；

双曲线：平面内与两个F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点

叫做双曲线的焦点，两焦点的距离

叫做双曲线的焦距。

② 试问点B、G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.

数学语言： MF1 MF2 2a （2a F1F2）

（理22）已知动直线l与椭圆C：+ = 1相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同点，且

常数2a=常数2a>

，轨迹是两条射线； ，轨迹不存在；

△OPQ的面积S△OPQ =，其中O为坐标原点．

常数2a=0,轨迹是F1F2的中垂线。

（2）

8表示的曲线是____

二、圆锥曲线的标准方程

抛物线

平面内与一个定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F叫做抛 2222

物线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线．（注：F不在l上）

当F在l上时是过F点且垂直于l的一条直线。

定义中要重视“括号”内的限制条件

(1)定点F1( 3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是( A．PF1 PF2 4 B．PF1 PF2 6 C．PF1 PF2 10

D．PF2

1

PF2

2

12

) 椭圆：焦点在x轴上时： xyyxa2 b2 1 焦点在y轴上时：a2 b

2 1

注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。

双曲线：焦点在x轴上时：x2y2y2x2

a2 b2 1 焦点在y轴上时：a2 b

2 1

注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置。 抛物线的标准方程：

x2）已知方程3 k y2

（12 k

1表示椭圆，则k的取值范围为____

（2）已知方程

x2m 2 y2

m 1

1表示双曲线，求m取值范围。 （3）已知方程x2y2

m 1 2 m

1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )

（4）抛物线y2＝mx(m≠0)的焦准距p为------------，焦点坐标是-------------，准线方程是---------．三、椭圆与双曲线的性质分析

分类

椭圆

双曲线

对称性

关于x轴和y轴对称，

关于x轴和y轴对称， 也关于原点对称 也关于原点对称

顶点

A1( a,0)A2(a,0)A1( a,0)，A2(a,0)

B1(0, b)

B2(0,b)离心率

e ca

e

c

a

焦点坐标

F1( c,0)，F2(c,0)F1( c,0)，F2(c,0)渐近线

无

y

b

a

x

抛物线几何性质：

（8）已知抛物线方程为

y2 8x，若抛物线上一点

到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等

于____；

（9）抛物线y2 2x上的

两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点

到y轴的距离为______ 四、点P(x0,y0)和椭圆

x2y2

2 1（a b 0）2ab

的关系：

22

x0y0

2 1 p点2ab

x2y2（1）椭圆若椭圆，则m的值是__ 1的离心率e

5m5

（2）双曲线的渐近线方程是3x 2y 0，则该双曲线的离心率等于______ （3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为__

在椭圆上。

22

x0y0

1 p点在椭圆内。 a2b2

22x0y0

2 1 p点在椭圆外。 2ab

x2y2

（4）设双曲线2 2 1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________

ab

(5)设a 0,a R，则抛物线y 4ax2的焦点坐标为________

对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。

五、直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离

x2y2（6）双曲线的离心率等于，且与椭圆 1有公共焦点，则该双曲线的方程_____

942

（7）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e 程为_______

2的双曲线C过点P(4, )，则C的方

c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性

(2).a.

求弦长。公式：弦长l1

x2其中k为直线的斜率，(x1,y1),(x2,y2)是两交点坐标．

（12）直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1交于A、B两点。

①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？ ②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？ 1、求弦长问题：：

（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______

b.求弦所在的直线方程 c.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程（点差法） (4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）

（2）过抛物线y2 2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______

2、圆 …… 此处隐藏：3056字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……