高二数学充分条件与必要条件

1.2 充分条件与必要条件

知识回顾 1.四种命题的概念 一般地，设“若p,则q”为原命题，则：

“若q,则p”为逆命题;“若﹁ p ,则﹁ q”为否命题;

“若﹁ q ,则﹁ p ”为逆否命题.2.四种命题的关系

原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q

逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p

判断下列命题是真命题还是假命题：

(1)若x y,则x y .2 2

真 记作x y x y2

2

(2)若x y ,则x y.2 2

假

记作 x y x y2 2

(1)若x y,则x y .2 2

若条件x y记为p, 结论x y 记为q2 2

定义(1) 若p q, 则称条件p是结论q的充分条件.

(2)若x y ,则x y.2 2

若条件x y 记为p, 结论x y记为q2 2

定义(2) 若p q, 则称条件p是结论q的必要条件.

判断：

如果 p q,那么 p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件.

两三角形全等 两三角形面积相等 两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件.

两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件.

判断充分、必要条件的关键： (1)认清条件和结论； (2)考察 p q 和 q

p

的真假.

定义(3) 若p q,且q p, 则称p是q的充分必要条件， 简称p是q的充要条件，记作p q.

观察：若x y,则x y .2 2

定义(4) 若p q,q p, 则称p是q的充分不必要条件 定义(5) 若p q,q p, 则称p是q的必要不充分条件定义(6) 若p q,q p, 则称p是q的 既不充分也不必要条件.

典型例题例1 .指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

(1) p : x 1 0; q : ( x 1)( x 2) 0(2)p:三角形的三条边相等； q:三角形的三个角相等. (3)p:两直线平行； q:内错角相等.

(4)p:四边形的四条边相等； q:四边形是正方形.

例2.填表p y是有理数x 5

q y是实数x 3

p是q的什么条件 q是p的什么条件充分不必要 充分不必要 充分不必要 必要不充分 充分 必要 充分不必要 必要不充分 必要不充分 必要不充分 必要不充分 充分不必要 必要 充分 必要不充分 充分不必要

m,n全是奇数 m+n是偶数 a b a b x A且x B x A B ab 0 a 0( x 1)( y 2) 0 x 1且y 2

例3、请用“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”填空： 必要不充分 (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的______条件 . 充要 (2)“同位角相等”是“两直线平行”的___条 件. 充分不必要 (3)“x=3”是“x2=9”的______条件 . (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四 既不充分也不必要 边形”的_________

_条件 .

例4: (1)若 p q,则p是q的什么条件？ (2)若 q p,则p是q的什么条件？ (3)若 p q,则p是 q的什么条件？

例5:已知p是q的充分条件，s是p 的充分条件，r是q 的必要条件， 又是s的充分条件，问s是q的什么 条件？p是s 的什么条件？【分析】本题中各条件都是抽象的，不容 易得出它们之间的关系，可以借助图象直 观表示，将有助于作出正确的判断。但要 注意递推符号的正确使用和传递关系。

练习：设A,B都是C的充分条件， D是B的充分条件，D又是C的必 要条件，那么B是A的什么条件？ C是D的什么条件？

课堂小结(1)充分条件、必要条件、充分必要条件的概念. (2)判断充分、必要条件的基本步骤： ①认清条件和结论； ②考察 p q 和 p q 的真假。 (3)判别技巧： ① 可先简化命题； ② 否定一个命题只要举出一个反例即可； ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。