D11_4对面积曲面积分

第四节 对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、曲面的面积 三、对面积的曲面积分的计算法

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一、对面积的曲面积分的概念与性质引例: 设曲面形构件具有连续面密度 量 M. z 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 求质

( k , k , k )

的方法, 可得

M

n

k 1

o x

y

其中, 表示 n 小块曲面的直径的

最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一

个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点,“乘积和式极限”记作

f ( x, y, z )d S

都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, 叫做积分曲面, dS称为面积元素. 据此定义, 曲面形构件的质量为 M ( x, y, z ) d S

曲面面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束

对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 在光滑曲面 上连续,

则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两片光滑曲面 1, 2 , 则有

f ( x, y, z ) d S 线性性质.

f ( x, y , z ) d S 单调性 积分中值定理

1

k1 f ( x, y, z) k2 g ( x, y, z) d S k1 f ( x, y, z ) dS k 2 g ( x, y, z ) dS 机动 目录 上页

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二、曲面的面积设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M ( x, y, z ) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , 则

zS

n

M

d cos d Acos 2

o xn

d y

1 1 f x 2 ( x, y ) f y 2 ( x, y )2

z

d A 1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) d (称为面积元素)机动 目录

dA d M

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故有曲面面积公式

A 即

D

1 f x 2 ( x, y ) f y 2 ( x, y ) d z 2 z 2 1 ( ) ( ) d x d y x y

A

D

若光滑曲面方程为 x g ( y, z ) , ( y, z ) D y z , 则有

Dy z

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若光滑曲面方程为 y h ( z , x) , ( z , x) Dz x , 则有

A Dz x

y 2 y 2 1 ( ) ( ) d zd x z x且则

若光滑曲面方程为隐式

Fy Fx z z , , x Fz y Fz

( x, y ) D x y2

A Dx y

Fx Fy Fz Fz

2

2

dx d y

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例1. 计算双曲抛物面出的面积 A .

被柱面

所截

解: 曲面在 xoy 面上投影为 D : x 2 y 2 R 2 , 则

A

D

1

z x z y d xd y

2

2

0

D

1 x y d xd yd R 0

2

2

2

1 r r dr

2

3 2 2 2 [ (1 R ) 1) ] 3

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例2. 计算半径为 a 的球的表面积.解: 方法1 利用球坐标方程.

设球面方程为 r a 球面面积元素为

z

a sin

a sin d d

d A a sin d d A 2 2 a d sin d 0 0 2

2

o x

a

ad y

4 a

比较：P214例4.2 用公式求(自学)

方法2 利用直角坐标方程。机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、对面积的曲面积分的计算法定理: 设有光滑曲面

z

f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分

f ( x, y, z ) dS 存在, 且有

x Dx y

o

y

( k ) x y ( k , k , k )

Dx y

f ( x, y ,

)

证明: 由定义知 0

lim

n

k 1机动 目录 上页 下页 返回 结束

而

(

k )xy

1 z x 2 ( x, y ) z y 2 ( x, y ) dxd y

, k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y 1 z x 2 ( k f ( x, y, z ) dS

f ( k , k , z ( k , k )) , k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y 1 z x 2 ( k

f ( k , k , z ( k , k ))

( 光滑)

1 z x 2 ( k , k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y Dx y

f ( x, y ,

) 1 z x 2 ( x, y ) z y 2 ( x, y )d xd y机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 1) 如果曲面方程为

或

x x( y, z ), ( y, z ) D y z y y ( x, z ), ( x, z ) Dx z

可有类似的公式. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的

二重积分. (自学P214-215用曲面参数方程求曲面面积部分)

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例3. 计算曲面积分被平面 解:

其中 是球面 截出的顶部.

zDx y : x 2 y 2 a 2 h 21 2 zx

h

z2 y

o x

Dx y

ay

2 a dxd y dS a d 2 2 2 Dx y a x y z 0

0

a 2 h2

rd r a2 r 2

2 a

1 ln(a 2 r 2 ) 2

a2 h2

0机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考:若 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截

z0)

dS z (

h

dS a z ( 4 a ln h )

o x h

y

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例4. 计算

其中 是由平面z1

与

坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 1 , 2 , 3 , 4 分别表示 在平面 上的部分, 则

o1 x

原式 =

1

2

x y z dS 3 4

1 y

0 y 1 x 4 : z 1 x y , ( x, y ) D x y : 0 x 1 1 1 x 3 x d x y (1 x

y ) d y 3 120 0 0机动 目录 上页 下页 返回 结束

4

x yz d S

P216 例4.4

求I ( x z ) d S , 其中x +y +z a3 2 2 2 2

2

坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区 域的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值 保持不变。对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0,如果将函数u(x,y,z)=0中的 x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0,即u(y,z,x)=0, 也就是积分曲面 的方程没有变，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS; 如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0,那么在这个 曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS;同 …… 此处隐藏：2054字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……