《数学模型》考试试卷(2)

000 1

0 100 0.150.050.7.01 0.030.070.60.3 ，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸收状态，此为吸收解：由题意，转移概率矩阵为

0.6

链。

1

0.3 0.1

M (I Q) 1

0.60.7 5

经过

=

2 43 4

2

1T3

(5,6) 2 y Me

=3，因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要

1

3或6年投保人就会出现退保或死亡的情况。

0.720.28 0.660.34

，因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.72和0.28；在投保F MR=

时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66和0.34。

1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下

午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分)

证明:记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F（a）<0, F(b)>0,由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。

2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成: 记第k次渡河前此岸的商人数为xk，随从数为yk，k=1，2,........，xk，yk=0，1，2，3。将二维向量sk=

（S=

xk

，

yk

）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S。

x,y |x 0,y 0,1,2,3;x 3,y 0,1,2,3;x y 1,2 记第k次渡船上的商人数为uk随从数为vk将二

dk=uv定义为决策。 u,v |1 u v v,u,v 0,1,2（k，k）允许决策集合记作D，由小船的容量可知D=

k

维向量

sdss 1 dk 模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：

状态k随k的变化规律是： k 1= k+

五：计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）

13 1

A 114

1/31/41 试用和法求出A的最大特征值，并做一致性检验（n=3时， RI=0.58）1、。

13 1 A 14

1/31/41

3/74/93/8

4/94/8 1/71/91/8

1.248

1.373 0.569

答：中各列归一化 ,各行求和 =

w

而

4.328

Aw 4.897

1.328

，

13(Aw)i14.3284.8971.328

( ) 3.123

3w31.2481.3730.569i 1i所以最大特征根为

3

其一致性指标为：CI=

3 1

3.123 3CI0.061 0.061 0.106 0.120.58,CR=RI, 所以A不通过一致性检验。

2、 一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收200元。若租给某丙开发旅游业可收

300元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用shapley值方法分配各人的所得。(9分) 答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略)

3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C1,每天每件产品贮存费用为C2, 缺货损失费为C3，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分）

解:模型假设:1.产品每天需求量为常数r 2.每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2 3.生产能力无限大 ，缺货损失费为C3 ，当t=T1时产品已用完 4.生产周期为T，产量为Q

C3r(T T1)2C2T1Q

C C1

22模型建立:一周期总费用如下:

一周期平均费用为

C1C2Q2C3(rT Q)2

f(T,Q)

T2rT2rT

T

模型求解: 用微分法解得周期2C1(C2 C3)

rC2C3

(1分)产量

Q

2rC1C3

C2(C2 C3)

4、人的状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。

设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今年患病的人明年健康的概率

为0.65，健康的概率为0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。

解：状态2分记

i 1 健康 ,i 2 患病 ，i 3 死亡

， 则

,依歇易得转移概率阵为

0.8

P 0.65

0

0.18

0.250

0.02

0.1 1

n a1 n ,a2(n),a3(n)

n 1 (n) P

Q

P O

(n 1,2, )

（1分）易是：

i 3 死亡 是吸收状态， 马氏链是吸收链。

1

R

I

0.8

Q 0.65

0.18

0.25

0.18 0.02 0.21 0.75 1

R M I Q 0.043 0.65 0.1 , 0.65 0.25 930850和4343 。 康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为

(t) rx(1 (x

5．设渔场鱼量满足下列方程：（9分）(1)讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况 (2)如何获得最大持续产量

0.18 1 0.93

y Me 0.2 0.043 0.85

由健

x2

)) hN

F(x) rx(1 (

解:令

x2

)) hN

，

3x2

F (x) r(1 2)

N

f(x) rx(1 (

x2

)) hN

的最大值点为

(

N2rN,)

x1( N/)和x2( N/),经过判断3当h 2rN/3时,无平衡点当h 2rN/3时,有两个平衡点 2rN/3时,平衡点x0 N/3,由F (x0)

x1

不稳定,x2稳定 当h

0不能判断它稳定性

(2)为了获得最大持续产量,应使x N/且尽量x N/3接近,但操作困难

1考虑药物在体内的分布与排除之二室模型

即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之间的血药相互转移，转移速率与该室的血药浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排除的速率与该室的血药浓度成正比，试建立两室血药浓度与时间的关系。（不必求解） 解：假设

ci(t)、xi(t)和Vi分别表示第i室(i 1.2)的血药浓度，药量和容积，k12和k21是两室之间药物转移速率系数，

1(t) k12x1 k13 x1 k21 x2 f0(t) x

2(t) k12x1 k21 x2k13是从中心室（第1室）向体外排除的速率系数则 xf(t)是给

（1）（其中0

f0(t)v2

c(t) (k k) c k c (3)12131212 1

vv 11

v c 2(t) 1k12 c1 k21c2v2x(t) Vi ci(t) (2)于是： 药速率）及i

2、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加工10小时后生产A产品2公斤，A产品可获利30元/公斤 ，或加工8小时可生产B产品3公斤，B产品可获利18元/公斤，或加工6小时可生产C产品4公斤，C产品可获利12元/公斤，现每天可供加工的原料为60桶，加工工时至多为460小时，且A产品至多只能生产58公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型

答：设每天安排x1桶原料生产A产品，x2桶原料生产B产品，x3桶原料生产C产品，则有：

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