初中数学竞赛辅导资料(3) 质数 合数

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初中数学竞赛辅导资料（3）

质数 合数

一、内容提要

1 正整数的一种分类：

质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。

合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数

整除，这样的正整数叫做合数。

2 根椐质数定义可知

① 质数只有1和本身两个正约数，

② 质数中只有一个偶数2

如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，

如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，

3任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。

二、例题

例1两个质数的和等于奇数a (a≥5)。求这两个数

解：∵两个质数的和等于奇数

∴必有一个是2

所求的两个质数是2和a－2。

例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数

解：∵质数m只含两个正约数1和m,

又∵（－1）（－m）=m

∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m.

例3己知三个质数a,b,c它们的积等于30

求适合条件的a,b,c的值

解：分解质因数：30＝2×3×5

a 2 a 2 a 3 a 3 a 5 a 5

适合条件的值共有： b 3 b 5 b 2 b 5 b 2 b 3

c 5 c 3 c 5 c 2 c 3 c 2

应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。

例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数。

解：（本题答案不是唯一的）

设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5

那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数

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即32，33，34，35就是所求的一组数。

本题可推广到n 个。令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2， N＋3，N＋4，……N＋（n+1）就是所求的合数。

三、练习

1， 小于100的质数共___个，它们是__________________________________ 2， 己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝＿＿，Q＝＿＿

3， 己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿

4， 如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿

如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿

如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿

5, 两个质数x和y，己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__.

6, 三个质数a,b,c它们的积等于1990.

a

那么 b

c

11137, 能整除3＋5的最小质数是＿＿

8，己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M。

AB 求M及＋的值 BA

9，试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数。

10，具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？

11，求适合下列三个条件的最小整数：

① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数

12，某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，

那么这个质数是＿＿＿

13，一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是＿＿。

练习题参考答案

1. 25个 2. 2，9 3. 2，43

4. 1，19；1，73或－1，－73

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5 略

6. 1900＝2×5×199 有6组

7. 2

8. 略

9.令N＝2×3×5×7＝210，所求合数为N＋2，N＋3，…… 10. 分母只含2和5的质因数

11. 11×11

12. 37

13. 3