19.2.2_菱形的定义、性质

§19.2 .2

菱形的定义、性质

菱形

在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅 改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？平行四边形 邻边相等菱形

如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形AB=BC ABCD

.

四边形ABCD是菱形

(1)观察：菱形是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?A1 3 2

菱形是中心对称图形4

B

D

菱形是轴对称图形

OC

(2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由. 菱形的性质1:菱形的四条边都相等。 菱形的性质2:菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角。

D

边

菱形的两组对边平行且相等 A

O B 数学语言

C

菱形的四条边相等

菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形

角

菱形的邻角互补

DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥ CD AB ∠ADB= ∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线

∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =

=

菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。

【菱形的面积公式】A

B

O EC

∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD 1 BD AO ∴ S △ABD = 2 D 1 S△CBD = BD CO∴ S菱形ABCD = S△ABD + S△CBD1 1 BD AO BD CO 2 2 1 1 BD ( AO CO) BD AC 2 2 2

S菱形=BC AE●

菱形的面积等于对角线乘积的一半

已知四边形ABCD是菱形相等的线段： AB=CD=AD=BC5

A1 2

7

D8

O6 3 4

OA=OC OB=OD

B

C

∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：

∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8

等腰三角形： △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形： Rt△AOB Rt△BOC Rt△CODRt△DOA 全等三角形：Rt△AOB≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA

△ABD≌△BCD

△ABC≌△ACD

A

D O C

1.已知菱形的周长是12cm,那 3cm 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC=60度， 60度 则∠BAC=_______.

B

D3

3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm A,4 O 则菱形的边长是( )CA.10cm B.7cm C. 5cm D.4cmA

C

4.在菱形ABCD中，AE⊥BC,AF⊥CD, E、F分别为BC,CD的中点，那么 B ∠EAF的度数是( )BA.75°B.60°C.45°D.30°E

BD F

C

例1、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线 的交点，已知AB=5cm,AO=4cm,求对 角线BD的长。 D解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C

∴AC⊥BD

5

3B

∴ OB 2 AB 2 OA 2 52 42 9 ∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm

有关菱形问题可转化为直角 三角形或等腰三角形的问题 来解决

例2、菱形ABCD的周长为16,相邻两角的 度数比为1:2. A⑴求菱形ABCD的对角线的

长； ⑵求菱形ABCD的面积.解:(1) ∵ ∠ABC: ∠BAD=1:2, 且∠ABC+∠BAD=180º ∴∠ABC=60º∵四边形ABCD是菱形

O D

B

C

∴AB=16/4=4,∠AOB=90º , ∠ABO=30º 2 2 AO 2 , BO 4 2 2 3 AC ∴

4,BD 4 3

(2) ∵ S菱形ABCD =1/2AC.BD

1 ∴ S菱形ABCD = 4 4 3 8 3 2

1.菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm,则菱 形的周长 ，面积 。 2.菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为6cm, 则另一条对角线长为 ；边长为 。

3.已知菱形的两个邻角的比是1:5,高是 8cm,则菱形的周长为 。 4.已知菱形的周长为40cm,两对角线的比为3: 4,则两对角线的长分别是 。

1、已知，菱形对角线长分别为12cm和 16cm,求菱形的高。 2、如图，E为菱形ABCD边BC上一点， 且AB=AE,AE交BD于O,且 A ∠DAE=2∠BAE, D 求证：EB=OA; O

B

E

C