线性代数_曲线曲面.do

几何与代数

主讲: 王小六

第六章 二次型与二次曲面

§6.1 二次型

问：二次型(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2是 不是正定的二次型？

答：不是。取x1=x2=x3。

第6章 二次型与二次曲面

第2节 空间中的曲线曲面

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

§6.2 空间中的曲面和曲线 曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)

P(x, y, z) S

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

一. 几种常见的曲面 1. 球面 点P(x, y, z)在球面上

z R

||P0P|| = R O y (x x0)2+(y y0)2+(z z0)2 x P0(x0, y0, z0) =R (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2x2 + y2 + z2 2x0x 2y0y 2z0z + x02 +y02 +z02 R2 = 0

特点:① 三元二次; ② 二次项x2, y2, z2前面的系数相同; ③ 没有xy, yz, zx这类的二次项. 满足这三个特点的方程一定表示一个球面， 理由见下页。反之，任意一个球面方程一定 满足上述三个特点，答案见下一节。

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

ax2 + ay2 + az2 bx cy dz + e = 0

b 2 c 2 d 2 (x ) + (y ) + (z ) = k 2a 2a 2a b2 c2 d2 e 2 + 4a2 + 4a2 a 4ab c d 当k > 0时: 球面, 球心( 2a , 2a , 2a ), 半径 k

当k = 0时: 点当k < 0时: 虚球面

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

2. 旋转面

(旋转)轴 母线

f( f( x2+y2, z) = 0长度为 x2+y2 P(x, y, z) z P0(0, x2+y2 , z)

f( y, z) = 0 x=0xO

f(y, z) = 0 x=0y

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

2. 旋转面

f(y, x2+z2) = 0z

f(y, z) = 0 x=0y

O x

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

例1. (1)

z

y 2 + z2 = 1 x=0y

O x

y 2 + z2 = 1 ( x2+y2 )2 + z2 = 1 x 2 + y 2 + z2 = 1

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

例1. (2)

z

y=1 x=0y

O x

y=1

x2+y2 = 1x2 + y2 = 1

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

例11. (3)x

z

z = 2y x=0y

O

z = 2y

z = 2 x2+y24x2 + 4y2 z2 = 0

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

3. 柱面

准线c

母线l

柱面

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

z P(x, y, z) f(x, y) = 0

Ox

l

y

Q(x, y, 0) f(x, y) = 0 z=0

注：此时假设l平行于z轴

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

例1. (2)

z

y=1 x=0O x y

x2 + y2 = 1 z=0

y=1

x2+y2 = 1x2 + y2 = 1

用刚刚分析 柱面方程的 方法

x2 + y2 = 1

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

-1 1 0.5 0 -0.5 -1 4

-0.5

20

0.5

11

2 1 0

1.5 1 0.5 0 3

2

-1 0 1

0 -1 -2 4 -1 -2 3 2 1.5 2 1 0.5 0

3

2

2

1

1

1

0-0.5

0

0 -1 -0.5 0

-1 0 0.5 0.5 1 1

圆柱面 椭圆柱面 双曲柱面 x2 y2 x 2 y2 x2 y2 + 2=1 2+ 2=1 - 2=1 2 2 a a a b a b (a>0, b>0)

抛物柱面 x2=2py(p>0)

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§6.2 空间中的曲面和曲线

4. 锥面 圆锥面x

z

z = 2y x=0y

O

顶点

半顶角

z = 2y z = 2 x2+y2

4x2 + 4y2 z2 = 0

第六章 二次型与二次曲面

§6.2 空间中的曲面和曲线

4. 锥面 圆锥面 (一般的)锥面 准线

顶点

半顶角 顶点 母线

作业习题六(B) 14,16,17*,18,19,20 22,23(1,2,3,6),24 提示17题：实对称矩阵的特征值是实数

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