学而思 小升初专项训练__数论篇(1) 教师版(2)

【例8】（★★★）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？

【解】：100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们都以从左往右作，可见转化成讨论5，6的最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为4米，所以30，60，90里各有2条，但发现最后96和100也是距离4米，所以总共2×3+1=7。

[拓展]：在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？

【例9】（★★★）1、2、3、4 2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？

【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个2，所以只要看1～2008中2ˇn谁最大，可见2ˇ10=1024，所以为10 个2。

【例10】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”， ，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）

【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。

其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。

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2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数 由于上述十二个数的最小公倍数是60060

因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。

4 数论的综合题型

【例11】（★★★★）某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？

【解】：

设第一户电话号是x+1,第二户x+2,….第12户电话号x+12

根据条件得x+i是i的倍数(i=1,2,…,12)因此x是1，2，….12的公倍数 [1,2,…..12]=27720 所以x=27720m

27720m+9是13的倍数，27720除以13余数为4 所以4m+9是13的倍数m=1,14,27….

第一家电话号码是27720m+1 m取14合适；

因此第一家电话号码是27720*14+1=388081

[拓展]：写出连续的11个自然数，要求第1个是2的倍数，第二个是3的倍数 第11个是12的倍数？

【例12】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”， ，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）

【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。

其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。

2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数

由于上述十二个数的最小公倍数是60060

因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

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1）数的整除。 参见例1，2，3，4 2）质数与合数（分解质因数）。参见例5，6 3）约数和倍数。 参见例7，8，9，10 4）数论的综合题型。 参见例11，12

【课外知识】

打开另一扇心窗

很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩。 莉蒂雅自小双目

失明，但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望。稍稍长大后，她像常人一样劳动，靠卖花自食其力。不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中。浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中。莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖花，对城市的各条道路了如指掌。她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许多市民。

后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中。

启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富。不要总以为自己是最倒霉的。其实，上苍很公平。有时候，命运向你关闭这一心窗的同时，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快乐

作业题

（注：作业题--例题类型对照表，供参考）

题1，4—类型1；题2，6—类型3；题3，5，8—类型2；题7—类型2 1．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 解：1+2+ +100=5050

9+18+27+ +99=9×(1+2+ +11)=495

随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555

2．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占数占

12

17

，得80～89分的人

，得70～79分得人数占

17

13

，那么得70分以下的有________人。

解：有、

12

、

13

，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为[7、2、3]＝42的倍数；

又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。

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从而70分以下的有：42× 1

17

12

1

＝1人。 3

3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。

解：枚举法：23，37，53，73，，有4个

4. （★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？ 解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5） 和的最小值为31。

5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数 …… 此处隐藏：2525字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……