2019高中数学人教A版必修四 第二章 平面向量 学业分层测评12 含

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学业分层测评(十二)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知a ,b ,c 是非零向量,则(a ＋c )＋b ,b ＋(a ＋c ),b ＋(c ＋a ),c ＋(a ＋b ),c ＋(b ＋a )中,与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

【解析】 依据向量加法的交换律及结合律,每个向量式均与a ＋b ＋c 相等,故选A ．

【答案】 A

2．如图2－2－8所示,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC ,则OA

→＋BC →＋AB →＝( )

图2－2－8

A ．CD

→ B ．OC → C ．DA → D ．CO

→ 【解析】 OA

→＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →. 【答案】 B

3．如图2－2－9所示的方格中有定点O ,P ,Q ,E ,F ,G ,H ,则OP

→＋OQ →＝( )

图2－2－9

A ．OH →

B ．OG →

C ．FO →

D ．EO

→ 【解析】 设a ＝OP

→＋OQ →,以OP ,OQ 为邻边作平行四边形,则夹在OP ,OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP

→＋OQ →,则a 与FO →长度相等,方向相同,所以a ＝FO

→. 【答案】 C

4．下列结论中,正确结论的个数为( )

【导学号：00680038】

①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反,那么a ＋b 的方向必与a ,b 之一的

方向相同；②在△ABC 中,必有AB

→＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0,则A ,B ,C 为一个三角形的三个顶点；④若a ,b 均为非零向量,则a ＋b 的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等．

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

【解析】 当a ＋b ＝0时,知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A ,B ,C 三点共线时知③不正确；当向量a 与向量b 方向不相同时|a ＋b|≠|a|＋|b|,故④不正确．

【答案】 B

5．在平行四边形ABCD 中,若|BC

→＋BA →|＝|BC →＋AB →|,则四边形ABCD 是( ) A ．菱形

B ．矩形

C ．正方形

D ．不确定 【解析】 ∵|BC

→＋BA →|＝|BD →|, |BC

→＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|, ∴|BD

→|＝|AC →|,∴?ABCD 是矩形． 【答案】 B

二、填空题

6．若a 表示“向东走8 km ”,b 表示“向北走8 km ”,则|a ＋b |＝________,a ＋b 的方向是________．

【解析】 如图所示,作OA

→＝a ,AB →＝b , 则a ＋b ＝OA

→＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB

→| ＝82＋82＝82(km),

因为∠AOB ＝45°,

所以a ＋b 的方向是东北方向．

【答案】 8 2 km 东北方向

7．(2016·济南高一检测)当非零向量a ,b 满足________时,a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角．

【解析】 当|a|＝|b|时,以a 与b 为邻边的平行四边形为菱形,则其对角线上向量a ＋b 平分此菱形的内角．

【答案】 |a|＝|b|

三、解答题

8．已知|OA

→|＝|a |＝3,|OB →|＝|b |＝3,∠AOB ＝60°,求|a ＋b |. 【解】 如图,∵|OA

→|＝|OB →|＝3,

∴四边形OACB 为菱形．

连接OC 、AB ,则OC ⊥AB ,设垂足为D ．

∵∠AOB ＝60°,∴AB ＝|OA →|＝3,

∴在Rt △BDC 中,CD ＝332,

∴|OC →|＝|a ＋b |＝332

×2＝3 3. 9.如图2－2－10,已知D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC 、AC 、AB 的中点．求证：AD

→＋BE →＋CF →＝0.

图2－2－10

【证明】 由题意知：AD

→＝AC →＋CD →,BE →＝BC →＋CE →,CF →＝CB →＋BF →. 由平面几何可知,EF →＝CD →,BF →＝F A →.

∴AD

→＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC

→＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE

→＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0,

∴AD

→＋BE →＋CF →＝0. [能力提升]

1．在正六边形ABCDEF 中,若AB ＝1,则|AB

→＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】 如图,

∵AB

→＋FE →＋CD → ＝AB →＋BC →＋CD →

＝AD →,

∴|AB

→＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2|AO →| ＝2|AB

→|＝2.故选B ． 【答案】 B

2.如图2－2－11,在重300 N 的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°、60°,当整个系统处于平衡状态时,求两根绳子的拉力．

图2－2－11

【解】 如图,作?OACB ,

使∠AOC ＝30°,∠BOC ＝60°,

则在△OAC 中,∠ACO ＝∠BOC ＝60°,

∠OAC ＝90°.

设向量OA

→、OB →分别表示两根绳子的拉力, 则CO

→表示物体的重力,且|OC →|＝300(N), ∴|OA

→|＝|OC →|cos 30°＝1503(N), |OB

→|＝|OC →|cos 60°＝150(N)． 故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N ．