第6章+滤波器组基础(2)

j2 kN

处的

x(n)

0(n)

1(n)2(n)M 1(n)

图6.2.3 DFT滤波器组最简单的形式

156

由该图及si(n)和x(n)的关系，有

M 1

uk(n)

s(n)W

ii 0

i

kiM

M 1

x(n i)W

i 0kM

kiM

(6.2.7)

M 1

及 Uk(z)

S(z) (zW

i 0

i 0

M 1

i

M 1

) iX(z) (6.2.8)

1 z m

令 H0(z) z 1

1 zi 0

则 U0(z) X(z)H0(z) 并有 Hk(z) H0(zWM) 及 Uk(z) X(z)Hk(z)

k

(6.2.9)

(6.2.10)

(6.2.11)

(6.2.12)

这样，在图6.2.3中由x(n)至ui(n)之间有一滤波器组（图中未画出）H0(z)，…，HM 1(z)。该滤波器组和（6.2.2）式有着相同的形式，都是由H0(z)作均匀移位的结果，因此，（6.2.11）式的Hk(z)也是均匀DFT滤波器组，其原型低通滤波器H0(z)由（6.2.9）式给出。该原型滤波器的频率响应是：

j

j (M 1)2

sin(

M)

(6.2.13)

H0(e) e

sin(2

其幅频响应为一周期的sinc函数，第一个傍瓣的衰减约为13dB，如图6.2.4（a）所示，而

Hk(ej ) H0(ej( 2 kM))

的幅频特性如图6.2.4（b）所示，图中k 1

(6.2.14)

现在来分析一下，uk(n)和x(n)的DFT系数X(k)之间的关系。由（6.2.7）式，

M 1

uk(n M 1)

s(n M 1)W

ii 0

kiM

M 1

x(n M 1 i)W

i 0

kiM

157

图6.2.4 DFT滤波器组的频率特性， （a）|H0(e

令M 1 i l，则上式变为

M 1l 0

j

j

（b）|H1(e)| )|，

uk(n M 1) W

式中X

(n)

k

M

klk(n)

x(n l)W WX(k) (6.2.15) MM

(k)表示由n为起点的M个数据x(n)，x(n 1)，…，x(n M 1)的DFT的

k

第k个系数，所以，uk(n M 1)和这M个点的DFT的第k个系数仅差一个W因子，二者的幅度完全一样。这样，图6.2.3的滤波器组恰是一个谱分析器，u0(n)，…，uM 1(n)是n时刻时就近的x(n)的M个数据的DFT的系数。这样，我们即把DFT滤波器组和DFT联系起来。

由（6.2.15）式，x(n l)，l 0,1, ,M 1的DFT恰是一个短时傅立叶变换的表达式，只不过式中的窗函数g(n,l) 1。可以设想，如果在（6.2.15）式中增加一非矩形的窗函数，那么将会减少Hk(e也可用滤波器组来实现。

j

)中的边瓣影响。另外，上述讨论告诉我们，短时傅立叶变换

6.2.3 从多相结构来导出DFT滤波器组

在图6.2.4中，Hk(e

j

)的主瓣宽度为4 M，若M过小，则Hk(z)之间将有着严

158

重的混迭。为减少混迭，需要增加M，M增大，则计算量随之增大，且由于M是滤波器的通道数，因此，也不能过于增大。这是由于（6.2.9）式中H0(z)的长度也是M所造成的。

假定H0(z)的长度为N，N M，我们将H0(z)分成多相结构，则

M 1

H0(z)

z

l 0

1

El(zM)

(6.2.13)

式中El(z)是el(n) h0(Mn l)，0 l M 1的z变换。由（6.2.11）式，有

Hk(z) H0(zW)

再由（6.2.8）式，有

M 1

kM

M 1l 0

(zW

kM) 1El(zM)

(6.2.14)

Uk(z)

z

l 0

l

kl

El(zM)X(z)WM (6.2.15)

（6.2.13）~（6.2.15）式的含意如图6.2.5所示。

x(0(n)1(n)M 1(n)

图6.2.5 DFT滤波器组的多相表示

由（6.2.9）式，由于h0(n) 1,1, ,1 ，所以

el(n) 1 El(z) 1

l 0,1, ,M 1 (6.2.16a) l 0,1, ,M 1

(6.2.16b)

这样，图6.2.3是图6.2.5的特殊情况，即图6.2.3中的El(z) 1没有画出。但按图6.2.5，

159

每一个el(n)的长度若为M，则h0(n)的长度将远大于M，从而减少了Hk(e混迭。若选E0(z) 1，则H0(e

j

j

)之间的

)可不必是简单的sinc函数。

有关DFT滤波器组的讨论见文献[15]及[23]。

6.3 常用名词及术语解释

6.3.1 最大抽取均匀滤波器组

设某一滤波器组有K个分析滤波器H0(z)，…，HK 1(z)，这K个滤波器若有关系

k

Hk(z) H0(zWK)

j

(6.3.1a)

K)

即 Hk(e

) H0ej( 2

，k 0,1, ,K 1

(6.3.1b)

则称该滤波器组为均匀滤波器组。x(n)经Hk(z)滤波后应作M倍的抽取，若M K，则又称该滤波器组为最大抽取均匀滤波器组（maximally decimated uniform filter bank）。

一个最大抽取均匀滤波器组的幅频响应如图6.3.1所示。

j )图6.3.1 最大抽取均匀滤波器组的幅频响应

我们在上一节讨论的DFT滤波器组，即是最大抽取均匀滤波器组，只不过其幅频响应是周期的sinc函数。

6.3.2 正交镜像滤波器组

一个两通道的滤波器组如图6.3.2（a）所示。如果有

160

H1(ej ) H0(ej( ))

则H0(e

j

(6.3.2)

)和H1(ej )是以 2为镜像对称的，如图6.3.2（b）所示。

(n)

图6.3.2 两通道滤波器组，（a）系统框图，（b）镜像对称的幅频响应

j

x(

若H0(e

)和H1(ej )二者没有重合，即当| | 2时|H0(ej )| 0，那么，

H0(ej )和H1(ej )是正交的。因此，这一类滤波器组又称为正交镜像滤波器组

（Quadrature Mirror filter bank，QMFB）。

实际上，若H0(e

j

)和H1(ej )有少量的重迭，如图6.3.2（b）所示，我们亦称它们

为QMFB。将这种情况推广到最大抽取均匀滤波器组，若它们的幅频响应仅有少许重迭，

如图6.3.1所示，我们也称它们为QMFB。

6.3.3 第M带滤波器

将分析滤波器组写成多相形式，如果其第0相，也即E0(z)恒为一常数c，即

M

H(z) c z lEl(zM)

l 1

M 1

(6.3.3)

那么，其单位抽样响应必有

h(Mn) e0(n)

c 0

n 0

其它

（6.3.4）

161

h(n)满足（6.3.4）式的滤波器称为“第M带滤波器（Mth filter）” 。（6.3.4）式的含意

是，除了在n 0这一点外，h(n)在M的整数倍处恒为零，如图6.3.3所示。

如果将这样一个滤波器接在一个L倍插值器后，且L M，如图6.3.4所示，那么

M 1 l

Y(z) H(z)X(z) c zEl(zM) X(zM)

l 1

M

(6.3.5)

c

h(n)

n

图6.3.3 某一Mth滤波器的单位抽样响应（M

3）

图6.3.4 H(z)为Mth滤波器时对插值后的滤波

该式意味着y(Mn) cx(n)，这就是说，将x(n)作L M倍的插值后，再经一个Mth滤波器，x(n)中所有的值乘以c后变为y在Mn处的值。若c 1，则y(Mn) x(n)，在

n的非M整数倍处，即是插值的结果。这一点请读者自行验 …… 此处隐藏：2577字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……