第6章+滤波器组基础

第6章 滤波器组基础

6.1 滤波器组的基本概念

一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的输出，如图6.1.1所示。

x(n) 0(nx(n)x0

1(nx(n)x1

(n)x M 1(n)xM 1(n) x

图6.1.1 滤波器组示意图，（a）分析滤波器组，（b）综合滤波器组。

假定滤波器H0(z)，H1(z)，…，HM 1(z)的频率特性如图6.1.2（a）所示，x(n)通过这些滤波器后，得到的x0(n)，x1(n)，…，xM 1(n)将是x(n)的一个个子带信号，它们的频谱相互之间没有交叠。若H0(z)，H1(z)，…，HM 1(z)的频率特性如图6.1.2（b）所示，那么，x0(n)，x1(n)，…，xM 1(n)的频谱相互之间将有少许的混迭。由于H0(z)，

H1(z)，…，HM 1(z)的作用是将x(n)作子带分解，因此我们称它们为分析滤波器组。

将一个信号分解成许多子信号是信号处理中常用的方法。例如，若图6.1.1中的M 2，那么，在图6.1.2中，H0(z)的频率特性将分别占据0~

2

和

2

~ 两个频段，前者对应

低频段，后者对应高频段。这样得到的x0(n)将是x(n)的低频成份，而x1(n)将是其高频

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成份。我们可依据实际工作的需要对x0(n)和x1(n)作出不同的处理。例如，若我们希望对x(n)编码，设x(n)的抽样频率为20KHz，若每个数据点用16bit，那么每秒钟需要的码

M

M

图6.1.2 分析滤波器组的频率响应，（a）无混迭，（b）稍有混迭

流为320Kbit。若x(n)是一低频信号，也即x(n)的有效成份（或有用成份）大都集中在

x0(n)内，x1(n)内含有很少的信号能量。这样，我们可对x0(n)仍用16bit，对x1(n)则

用8bit，甚至是4bit，由于x0(n)和x1(n)的带宽分别比x(n)减少了一倍，所以，x0(n)和

x1(n)的抽样频率可降低一倍。这样，对x0(n)编码的数据量是160Kbits，对x1(n)，若

用4bit，则数据量为40Kbits。总的数据量为200Kbits，这比320Kbits减少了约37%。 在图6.1.1（b）中，M个信号x0(n)，x1(n)，…，xM 1(n)分别通过滤波器G0(z)，

G1(z)，…，GM 1(z)，所产生的输出分别是y0(n)，y1(n)，…，yM 1(n)。这M个信

号相加后得到的是信号x(n)。显然，G0(z)，G1(z)，…，GM 1(z)是综合滤波器组，其任务是将M个子信号x0(n)，x1(n)，…，xM 1(n)综合为单一的信号x(n)。

前已述及，将x(n)分成M个子带信号后，这M个子带信号的带宽将是原来的M。因

151

此，它们的抽样率可降低M倍。这样，在分析滤波器组H0(z)，H1(z)，…，HM 1(z)后还应分别加上一个M倍的抽取器，如图6.1.3所示。图中H0(z)，H1(z)，…，HM 1(z)等工作在抽样频率fs状态下，而 0(n)，…， M 1(n)是处在低抽样频率状态（fsM）下。我们希望重建后的信号x(n)等于原信号x(n)，或是其一个好的近似，那么，首先应保证x(n)和x(n)的抽样频率一致。因此，在综合滤波器组G0(z)，G1(z)，…，GM 1(z)之前还应加上一个M倍的插值器，如图6.1.3所示。图中中间部分的信号重新作了定义。该图即是一个完整的M通道滤波器组。

图中H0(z)，H1(z)，…，HM 1(z)的作用一方面是将原x(n)分成M个子带信号，另一方面是作为抽取前的抗混迭滤波器。同理，G0(z)，G1(z)，…，GM 1(z)一方面起到信号重建的作用，但实质上是插值后去除映像的滤波器。

图6.1.3 M通道滤波器组

也许读者会问，图中M倍抽取后又紧跟M倍的插值，二者的作用不是抵消了吗？实际上不是如此。前已述及，对x(n)分解成x0(n)，x1(n)，…，xM 1(n)后再抽取，得到

0(n)，…， M 1(n)，其目的是在低抽样频率状态下针对它们能量分布的特点给出不同

的处理（例如编码）。这些处理或编码后的信号在送到插值器之前可能要经过很长的传输距离，因此图中的抽取和插值环节都是必要的。

将信号x(n)通过分解、处理和综合后得到x(n)，我们希望x(n)=x(n)，例如，在通

152

信中，我们总希望接收到的信号和发送的信号完全一样。当然，要求x(n)=x(n)是非常困难的，也几乎是不可能的。如果x(n) cx(n n0)，式中c和n0是常数，即x(n)是x(n)纯延迟后的信号，我们称x(n)是x(n)的准确重建（Perfect Reconstruction，PR）。实现PR的滤波器组就称为PR系统。

在图6.1.3的系统中，x(n)对x(n)的失真主要来自如下三个方面：

1. 混迭失真：这是由于分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开及x(n)的抽样频率fs不能大于其最高频率成份的M倍所致；

2 .幅度及相位失真：这两项失真来源于分析及综合滤波器组的频带在通带内不是全通函数，而其相频特性不具有线性相位所致；

3. 对x0(n)，x1(n)，…，xM 1(n)作M倍抽取后再作处理（如编码）所产生的误差（如量化误差）。

上述误差来源中，第三种来源于信号编码或处理算法，它和滤波器组无关，因此，我们在本书中不作讨论。在滤波器组中，研究最多的是如何消除第一和第二两类失真，或是着重消除其中的一种。在本章，我们则集中讨论和滤波器组有关的一些基本概念，给出相关的定义与公式。至于滤波器组本身的讨论，则留待第七、第八两章。

除了上面谈到的几种失真外，读者肯定还会问起一个问题：即图6.1.3中的2M个滤波器是否要一一设计？每一路的滤波是否要逐一计算？如果是这样，其设计任务和计算量岂不是非常大？

为了回答上述问题，我们用DFT滤波器组（这是一种其基本概念为大家所熟知，且又是均匀的滤波器组）为例来给出相关的内容。

6.2 DFT滤波器组

均匀DFT滤波器组是一种典型的滤波器组，它的基本思路可推广到其它类型的滤波器组。DFT滤波器组有着不同的导出方法[15, 23]，现分别讨论之。

6.2.1 直接导出

在图6.1.3的M通道滤波器组中，我们先给定一低通滤波器H0(z)，其单位抽样响应为h0(n)，其频带为

M

~

M

，即带宽为

2

。设第k条支路上的分析滤波器为Hk(z)，M

153

并假定它和H0(z)有如下关系：

hk(n) h0(n)e

则 Hk(z) H0(ze

j

2 knM

(6.2.1)

(6.2.2)

j

2 M

k

) H0(zWM)

这样，对图6.1.3中的第k条支路，x(n)通过该支路后就变成一个窄带信号，其频谱在

2 kM~2 (k 1)M之间。如若将hk(n)的输出xk(n)再乘以e

j

2

knM

，这就等于将

xk(n)的频谱的中心移到 0的位置，因为其带宽仍是2 M，所以对xk(n)可作M倍

的抽取。图6.1.3中的第k条支路如图6.2.1所示。

由上一章的讨论，有

)

图6.2.1 M通道滤波器组中的第k条支路

k(n) xk(Mn)

xk(n) x(n)*hk(n)

2 kmM

所以

m

x(n m)h(m)e

j

k(n)

现将x(n)分成M个子序列，令

m

x(Mn m)h(m)e

j

2 M

(6.2.4)

m Mr l，r ~ ，l 0,1, ,M 1

则

M 1

j2

klM

k( …… 此处隐藏：2895字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……