全国大学生数学建模竞赛题 艾滋病疗法的评价及疗效的预测模型

艾滋病疗法的评价及疗效的预测模型

摘 要

本论文通过对影响艾滋病疗法的疗效的主要因素进行了综合评价,通过统计方法得到已知数据的特征变化趋势，利用灰色预测法对疗效做了分析预测,由此得出最佳治疗终止时间和最佳疗法．

针对问题一，对缺省数据，采用了插值和取截断值的方法进行恢复，按时间分段后统计得出病人体内CD4和HIV浓度的变化趋势（见文中图一、图二），并对这些数据进行分析和预测得出最佳治疗终止时间在25周左右．

针对问题二，将数据按整周点作为时间点划分，根据数据的特点将CD4浓度分段，统计出按时间和CD4分段后的人数百分比（文中表1至表4），分析数据对四种疗法进行综合评价，可得结论为：疗法四为最佳。

对此最优疗法进行预测，由于有很多不确定的因素，运用灰色预测法建立GM（1，1）

dx(1)

ax(1) 可得CD4浓度与时间的预测关系： 微分方程模型：dtx(k 1) [x(0)(1)

^(1)

a

]e ak

a

（k=0,1,2…n）由于残差检验观察相对误差序列有的

CD4

浓度与时间的预测关系：

误差很大，修正后

x(k 1) [x(0)(1)

^(1)

a

]e ak

a

(k 1)( ae)[e(0)(1)

e

ae

]e aek由此得到停止治疗时间为

第40周。

对于问题三，在考虑疗效的同时还应考虑费用问题，因此主要利用问题二得出的结论选择一个疗效比较好且费用较低的疗法，得出结论为：对于考虑经济效益的情况下最好选择疗法三。

关键词

灰色预测法、最小二乘法、关联度检验、后验差检验

问题重述

艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。

导致艾滋病的主要是一种叫做HIV的病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。据统计，凡CD4+T淋巴细胞＜200/mm3或CD4+T淋巴细胞的百分比＜14%的HIV感染者可归入艾滋病。

艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。

据很多资料表示，成功的抗病毒治疗应该达到以下效果：血浆中HIV-RNA（HIV核酸法检验的病毒载量）的水平4周内应下降1个Log以上， 4～6个月内病毒降至检测不到的水平(HIV RNA<50拷贝/ml)，CD4+T淋巴细胞计数应逐渐上升。如果达不到相应指标，则应根据实验室检测结果调整治疗方案。

迄今为止还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。本问题就是要确定一个较好的治疗方案。

现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。一组数据是服用了相同药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。另一组数据是将1300多名病人随机地分为4组，每组按4种不同的疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。根据提供数据完成以下问题：

（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。

（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。

模型建立与求解

问题(1):

将附录1中数据统计得出，可将时间分段，分为五个阶段：表一和表二中I表示0—4周，II表示4—8周，III表示8—25周，IV表示25—40周，V表示40—57周。

表一

表一说明：左列表示CD4的值的变化范围，为负表示CD4减少的值，为正表示CD4增加的值，数值表示所占的比例。

图一

图一说明：1—7分别表示表一中CD4值变化的七个范围，图一是随着服药时间的延续CD4在各范围内的增加或减少的人数变化趋势,CD4减少则看做是药品的副作用，经过统合评价得出结论在第三阶段和第四阶段总体上CD4在增加，因此最佳治疗终止时间在这两个阶段内。

表二

表二说明：左列表示HIV的值的变化范围，为负表示HIV值减少，为正表示HIV增加的值，数值表示所占的比例。

图二

图二说明：1—6分别表示表二中HIV值变化的6个范围，图二是随着服药时间的延续HIV在各范围内的增加或减少的人数变化趋势,HIV增加则看做药品的副作用，经过综合评价得出结论在第二阶段和第三阶段总体上HIV在减少，因此最佳治疗终止时间在这两个阶段内。

综合以上两方面的因素，确定最佳治疗终止时间为第三阶段，第三阶段为8—25周，所以我们认为最佳终止时间为开始服药后的第25周。

问题(2):

将采用不同治疗方法的病人分组进行分析，最后比较优劣。

根据检测间隔时间大约都是8周，我们将40周平均分为五个区间，将CD4浓度也等间隔划分为七个区间（具体划分见下表）。利用统计方法统计出处于各个时间段不同CD4浓度的人数。

由于这1300多个病人是随机分给各组的，直接比较没有可比性，故我们将统计的各个时间段的人数求和，用统计得到的各个人数值除以相应时间段的人数和，得到各个时间段CD4浓度不同的人数比值（表中数据）。通过比较四种方法的这些比值来确定疗效的优劣。

（比值用%表示）

通过做图比较四种疗法每一期的数据：

图形说明：以上五幅图表示四种疗法分别在五个分段周期内随着cd4的增长人数比例的变化趋势，经对比可看出第四种疗法随着时间的推移cd4的值大的部份人数比例比另外三种高，因此我们认为其疗效最好。疗效从优到劣依次为：4，3，2，1，每幅图的四条曲线均从1 到4标明，分别表示四种疗法。

对疗法四进行评价和预测，由于已知的因素只有统计的病人CD4的浓度，并且无法确定其它不确定因素，对于疗效也没有一个准确的描述，因此我们采用了灰色预测法。

灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，它的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。尽管灰色过程中所显示的现象是随机的，但毕竟是有序的，因此这一数据集合具备潜在的规律。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相应程度，即进行相关分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势的状况。灰色预测用等时距观测到的反映预测对象的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

第一步，把时间平均分成40 …… 此处隐藏：2596字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……