北京市海淀区2013届高三4月一模数学试题[文科]及答案

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海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （文）

参考答案及评分标准 2013．4

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 答案

2 A

4 B

6 D

8 D

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空

2分，共30分）

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）

解：（I）f( 2 12．4 9． 0

10．

1

2

11. 16 14．2, 2

13． a 4

π3

12

1 ………………2分 22

因为f(x) 2

x cosx)2

2 (3sin2x cos2

x xcosx)

2 (1 2sin2x2x) ………………4分 1 2sin2x 2x

cos2x 2x ………………6分

π

= 2sin(2x ………………8分所以 f(x)的

6

周期为T

2π2π

π ………………9分 | |2

（II）当x [ 所以当x

πππ2πππ5π,时， 2x [ ,]，(2x [ , 6333666

6

时，函数取得最小值f(

6

) 1 ………………11分当x

6

时，

函数取得最大值f() 2 ………………13分

6

16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有10 0.25 40人 ………………2分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为

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40 (1 0.375 0.375 0.15 0.025) 40 0.075 3 ………………4分

（II）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1 (40 0.2) 2 (40 0.1) 3 (40 0.375) 4 (40 0.25) 5 (40 0.075)

2.9

40

………………8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，

所以还有2人只有一个科目得分为A ………………9分

设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

{{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},一共有6个基本事件 …11分

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则 P(B)

1

. ………………13分 6

17.解：（I）证明：(I) 因为 ABC是正三角形，M是AC中点，

所以BM AC,即BD AC ………………1分

又因为PA 平面ABCD，BD 平面ABCD，PA BD ………………2分 又PA AC A，所以BD 平面PAC ………………4分 又PC 平面PAC，所以BD PC ………………5分 （Ⅱ）在正三角形ABC

中，BM 分 在 ACD，因为M为AC中点，DM AC，所以AD CD

CAD 30

，所以，DM

，所以BM:MD 3:1 ………………8分 3

所以BN:NP BM:MD，所以MN//PD ………………9分 又MN 平面PDC，PD 平面PDC，所 以MN//平面PDC ………………11分 （Ⅲ）假设直线l//CD，因为l 平面PAB，CD 平面PAB，

所以CD//平面PAB ………………12分 又CD 平面ABCD，平面PAB 平面ABCD AB，所以CD//AB……………13分 这与CD与AB不平行，矛盾所以直线l与直线CD不平行 ………………14分

18.解：（I）因为f'(x) x2 k ………………2分 当k 4时，f'(x) x2 4，令f'(x) x2 4 0，所以x1 2,x2 2

f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x

( , 2)

2

0 极大值

( 2,2)

2

0 极小值

(2, )

f'(x) f(x)

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………………4分 所以f(x)的单调递增区间是( , 2)，(2, )

单调递减区间是( 2,2) ………………6分 （II）令g(x) f(x) k，所以g(x)只有一个零点 ………………7分 因为g'(x) f'(x) x2 k

当k 0时，g(x) x3，所以g(x)只有一个零点0 ………………8分 当k 0时，g'(x) x2 k 0对x R成立，

所以g(x)单调递增，所以g(x)只有一个零点 ………………9分 当k 0时，令g'(x) f'(x) x2 k 0，解得x1 所以g'(x),g(x)随x的变化情况如下表：

或 x2 分

g(x)29

即g( k 0，解得0 k ………………12分 综上所述，k

34

9

的取值范围是k ………………13分

4

19.解：(I)设椭圆的焦距为2c，

因为a

，

c，所以c 1 ………………2分

a2

所以b 1

x2

所以椭圆C： y2 1 ………………4分

2

（II）设A（x1，y1），B(x2，y2)

y kx

由直线l与椭圆C交于两点A，B，则 2

2

x 2y 2 0

所以(1 2k2)x2 2 0 , 则x1 x2 0，x1x2

2

………………6分

1 2k2

所以AB ………………8分 点M）到直线l的距离d

………………10分

则GH ………………11分 显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y kx就是y轴，矛盾， 因为AG BH，所以AB GH分

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8(1 k2)72k2

所以 4( ) 22

1 2k31 k

解得k2 1,即k 1 ………………14分 20.解: (I) 因为 x+ y=3( x, y为非零整数）

故 x 1, y 2或 x 2, x 1，所以点(0,0)的“相关点”有8个………………1分又因为

( x)2 ( y)2 5，即(x1 0)2 (y1 0)2 5

所以这些可能值对应的点在以(0,0)

………………3分 (II) 设M(xM,yM)，因为M (H),L (M)

所以有|xM 9| |yM 3| 3，|xM 5| |yM 3| 3 ………………5分 所以|xM 9| |xM 5|，所以xM …… 此处隐藏：1287字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……