Chapter2一阶微分方程的初等解法(2)

例2 求方程

dydx

y2x y

2

的通解.

2

解：方程变形

dxdy

2x y

y

2y

x y

将x视为函数, y视为自变量.且有P=2/y, Q= y. 对应齐次型方程为

dxdy

2yx

易知其通解为: x Cy2.

设非齐次型方程的解为: x C(y)y2. 则有

dxdy

dC(y)dy

y 2yC(y)

2

原方程化为

dC(y)dy

dC(y)dy1y

y 2yC(y)

2

2y

C(y)y y

2

即

C(y) ln|y| c1

从而原非齐次型方程的通解为x y2(c1 ln|y|).

伯努利方程

形如：

dydx

P(x)y Q(x)y

n

的方程(n 0,1).

dydx

方程两端除以yn,可得

y

n

y

1 n

P(x) Q(x)

1

令z=y1-n，则

dzdx

(1 n)y

n

dydx

，即：y n

dydx

dzdx

(1 n)

代入原方程有

dzdx

(1 n)P(x)z (1 n)Q(x)

这是一阶线性微分方程,可求解.

例3 求方程

dydx

6

yx xy

2

的通解.

解：两边除y2 得:

dzdx

dzdx

1dyy

2

dx

61xy

x

令 z=1/y, 则有原方程可化为:

1dyydx

6x

2

z x

这是非齐次线性方程,记 P= 6/x, Q=x; 则可由通解公式求方程通解为:z e

6xdx

Pdx

Q e

Pdx

dx C

即z e

x e

6x

dx

82

1 x1 Cx7 dx C 6 xdx C 6 8 C x6 8 x x

2

从而原方程通解为

1y

Cx

6

x

8

作业:

P49

1．(2),(3),(4),(5),(7),(11)

§2.3 恰当方程

教学目的

1.理解恰当方程的概念； 2.掌握恰当方程的解法。 教学重点、难点

恰当方程的积分因子法； 教学时数 4学时 教学过程

2.3.1 恰当微分方程

将一阶微分方程写成如下形式

f(x,y)dx dy 0或:M(x,y)dx N(x,y)dy 0

其中M(x,y)与N(x,y)为某矩形域内的连续函数,且具有连续的一阶偏导数.如果上述方程左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分,即

du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy

u xdx

u ydy

则称此方程为恰当方程。 恰当方程的充分必要条件是:

M y

N x

由此有 u

M(x,y)dx (y)

如果 (y) 能求,则解即已求出. 另外,有关系式

u y

N

即

M(x,y)dx (y)

y y

M(x,y)dx

d (y)dy

N

从而

d (y)dy

N

y

M(x,y)dx

积分可得 (y)

N

y

M(x,y)dx dy

N

y

从而可得u

M(x,y)dx

M(x,y)dx dy

所以原方程的通解是: M(x,y)dx [N

y

M(x,y)dx]dy C

例1 求(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0的通解. 解：记M=3x2+6xy2, N=6x2y+4y3.则有

M y

12xy

N x

所以方程是恰当方程. 因此

u

M(x,y)dx x 3xy (y)

3

2

2

而

u y

6xy

2

d (y)dy

6xy 4y

2

3

从而

d (y)dy

4y

3

即

(y)=y4

从而

u=x3 + y4 + 3x2y2.

所以方程的通解为: x3 + y4 + 3x2y2=C.

常用全微分公式:

ydx xdy d(xy)

ydx xdy

y

2

x d

y

x

ydx xdy

x

2

y d

x 1dln

ydx xdy

dln

x

ydx xdy d(arctan

)

ydx xdy

x y

xy

y

x2

y

2

y

x2

y

2

2

例2 用“分项组合”的办法，求解例1. (3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0

拆项: 3x2dx +6xy2dx+6x2y dy +4y3dy=0 dx3 + dy4 + 3y2dx2 + 3x2dy2 =0 d(x3 + y4 + 3x2y2)=0

所以通解为: x3 + y4 + 3x2y2=C.

例3 求解方程

1 cosx

y dx 1 x

yy2 dy 0.

解：记M cosx

1xy

,N

1y

y2

检验是否恰当方程：

M1 N y

y

2

x

.

所以方程是恰当方程,对方程重新分项组合:

cosxdx

1x

ydx

1ydy

y2

dy 0 dsinx dln|y| 1x

dx yy2dy 0

dsinx dln|y| ydx xdy

0 dsinx dln|y| d x

y2 0 y

d sinx ln|y| x

y 0 所以方程通解为sinx ln|y| xy

C.

x y

2.3.2 积分因子

引入积分因子将非恰当方程转化为恰当方程. 如果存在连续可微的函数 ＝ (x,y) 0,使得

(x,y) M(x,y)dx + (x,y) N(x,y)dy =0为恰当方程，则称 (x,y)为方程 M(x,y)dx + N(x,y)dy =0的积分因子. 此时,相当于存在函数v(x,y),使

(x,y) M(x,y)dx + (x,y) N(x,y)dy =dv(x,y) 亦即 v(x,y)=C 为上述方程的通解.

积分因子存在且不唯一.所以,由于积分因子的不同可导致通解的形式不同.

由恰当方程的充要条件：

( M) y

( N) x

即：N

x

M

M N

y x y

欲想在上述方程中求解出 (x,y)比较困难.因此寻找特殊的积分因子,若积分因子只与x有关,则充要条件变为:

d

M N dx y x

N

或

d

M N

x y

N

dx

由此可知方程存在只与x有关的积分因子的充要条件为

M N y x

N

(x)

则,由此可求出方程的积分因子为 e

(x)dx

.

同理,方程存在只与y有关的积分因子的充要条件为

M N y x

M

(y)

(y)dy

由此又可求得方程的积分因子为 e .

例4 试用积分因子法解线性微分方程

dydx

P(x)y Q(x)

.

解：先将方程变形为: [P(x)y+Q(x)]dx dy=0. 即M= P(x)y+Q(x), N= 1 而

M y

N N x

P(x) 1

P(x)

所以方程有只与 x 有关的积分因子 e方程两端乘以积分因子得

e

P(x)dx

P(x)dx

P(x)ydx e

P(x)dx

P(x)dx

dy Q(x)e

P(x)dx

dx 0

y …… 此处隐藏：1376字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……