Chapter2一阶微分方程的初等解法

第二章 一阶微分方程的初等解法

教学目的

1.掌握一阶微分方程的初等解法； 2.掌握一阶齐次线性微分方程的解法；

3.掌握一阶非齐次线性微分方程的常数变易法； 教学重点、难点

1. 一阶非齐次线性微分方程; 教学时数 16学时

§2.1 变量分离方程与变量替换

教学目的

1.掌握可分离变量方程的解法； 2.掌握齐次型方程的解法。 教学重点、难点

可化为齐次型方程的解法； 教学时数 4学时 教学过程

2.1.1 变量分离方程

形如

dy

dydx

f(x) (y)的方程称为变量分离方程。如果 (y) 0，可将方程变形为：

(y)

f(x)dx。两边积分，可得：

dydx

xy

dy

(y)

f(x)dx c.

例1 求解方程

.

解：变量分离ydy xdx,两边积分有：可得通解为x2 y2 c.

例2 求解方程

dydxc

y( c dx)x(a by)

y

2

2

x

2

2

c2

.

,x 0,y 0.

解：变量分离 ( d)dx (

x

ay

b)dy，两边积分得：cln|x| dx aln|y| by k

即

xe

c

dx

ye

a by

k(k e

k

)

所以通解为xce dxyae by k(k > 0为任意常数)

考虑初始条件 t=0 时,x(0)=x0, y(0)=y0代入得：k x0ce dxy0ae by

即解为xce dxyae by y0ae byx0ce dx

x d(x x0) y b(y y0)

1. 或 x e y e 0 0

ca

例3 求解人口增长的logistic模型

dN

N

N,N(t0) N0,N(t) 0. r 1 dtNm

解：变量分离得

rdt

NmdN(Nm N)N

dNN

dNNm N

两边积分得：rt lnN ln(Nm N) 化简得

e

(rt )

NmN

1得N

Nm1 ce

rt

,(c e

)

将初始条件t=0 时,N(0)=N0代入得

ce

rt0

NmN0

1

从而可得通解为

N

Nm

Nm r(t t0)

e1 1 N

m

.

例4 求以下方程的通解,其中P(x)是x的连续函数.

dydx

P(x)y

解：变量分离得

dyy

P(x)dx

两边积分得ln|y|

P(x)dx ，即 即y e e

P(x)dx

|y| e

P(x)dx .或y C e

P(x)dx

.

课堂练习：

(1)y e

2x y

(2)y ln

e

2x

C2

(3)y x y2

(4)y sin(

x

2

2

C)

(5)yy exsinx (6)y2 ex(sinx cosx) C

2.1.2 可化为变量分离方程的类型

情形1

dy

y

g 称为齐次方程, gdx x

yx

是连续函数.

作变量替换u ,则y=ux，则有

dydx

x

dudx

u

则方程化为

xdudx

u g(u)

变量分离得

dudx

g(u) u

x

例5 求解方程

dydx

yx tan

yx.

解：作变量替换方程化为x

dudx

yx

u

,则

dydx

x

du

u u tanu

dxx

,即

dxdudx

u

x

tanu

变量分离得：cotudu

两边积分得ln|sinu| ln|x| ，即sinu e x或sinu C x

例6 求解方程x解：改写方程

dydx

dydx 2

xy y(x 0)

2

yx

yx

(x 0)，令u

yx

,则y=ux, 即

du2u

dxx

dydx

x

dudx

u

从而方程化为：x

dudx

2u

，分离变量得：

两边积分得：u ln( x) c. 即：u (ln( x) c)2,(ln( x) c 0) 故解为y x(ln( x) c)2,(ln( x) c 0)或y=0. 形如2

a1a2a1a2

dydxb1b2b1b2

a1x b1y c1a2x b2y c2c1c2

dydx

①

k

方程可化为

k

,通解为y kx c.

dudx

dydx

ku c1u c2

②

k

c1c2

,可令u a2x b2y,则有

a2 b2 a2 b2

为变量分

离方程,可求其解. ③

a1a2

b1b2

dy

y

g 的类型,可求其解. dx x

a. c1=c2=0, 此时方程可化为情形1

b. c1,c2不全为零,考虑作变换x=X+ , y = Y + ,使原方程化为上述a的情形

将X=x ,Y=y 代入原方程有

dYdX

a1X b1Y (a1 b1 c1)a2X b2Y (a2 b2 c2)

令

a1 b1 c1 0

a2 b2 c2 0

这是关于变量 , 的二元一次方程组,可求出 , 的值后,将原方程化为

dYdX

a1X b1Ya2X b2Y

的情形,即可转化为情形a.

例7 求解方程

dydx

x y 1x y 3

.

解：先解方程组

x y 1 0 x y 3 0

可得x=1,y=2.

作变量替换:X=x 1,Y=y 2;即x=X+1,y=Y+2,代入原方程可得

dYdX

YX

dYdX

dudX

X YX Y

.

令u ,即Y=ux,

X u

,原方程化为

dXX

1 u1 2u u

2

du

两边积分可得lnX2 ln|u2 2u 1| 即X2(u2 2u 1) e 将X=x 1,Y=y 2代回可得

(y x) 2(x 1)(y 2) (x 1) c1

2

2

整理可得y2 2xy x2 6y 2x c.

2.1.3 应用举例

例8 电容器的充电和放电。如图RC电路：

找出电容充、放电过程中，电容C两端的电压uC随时间t的变化规律。 解：充电时，由闭合电路的基尔霍夫定律，有

uC RI E

dQdt

d(CuC)dt

C

duCdt

电量Q CuCI

即得

uC E

RC

duCdt

分离变量得：

duCuC E

dtRC

tRC

tRC

两边积分得：ln|uC E| 从而uC E ee

c1

tRC

c1

c2e

，由t=0时，uC=0，代入后可得

uC E(1 e

tRC

)

例9 按照灯反射镜面的形状

在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，

以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状。

解： 取光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向(如图)。设所求曲面由曲线

y f(x)

z 0

绕x轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求Oxy平面上的曲线y=f(x)的问题。

T

可知， ONM= TMS= NMO= PMQ= ， 所以|OM|=|ON| 而y

dydx

tan

|MP|tan

|MP||NP|

，|OP|=x， |MP|=y， |OM|=x2 y2

所以|OM| |OP|

ytan

x

可得方程：x2 y2 即：

dydx

x

yx y

2

2

可求解得平面 …… 此处隐藏：1930字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……