2017年陕西师范大学数学与信息科学学院726数学分析考研强化模拟

目录

2017年陕西师范大学数学与信息科学学院726数学分析考研强化模拟题（一） (2)

2017年陕西师范大学数学与信息科学学院726数学分析考研强化模拟题（二） (11)

2017年陕西师范大学数学与信息科学学院726数学分析考研强化模拟题（三） (16)

2017年陕西师范大学数学与信息科学学院726数学分析考研强化模拟题（四） (24)

2017年陕西师范大学数学与信息科学学院726数学分析考研强化模拟题（五） (32)

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2017年陕西师范大学数学与信息科学学院726数学分析考研强化模拟题（一）

说明：①本资料为VIP 学员内部使用，严格按照2017考研专业课大纲及历年常考题型出题。 ————————————————————————————————————————

一、证明题

1． 设

在

上续，证明：对任意正整数n ，存在使得，

【答案】若则取即可.若

令

则

在

上连续.

由

知

若，则取中任一点即可；

若

不全为0,则必有两点

使得

由根的存在定理，使得?即

2． 设

，求证：当

时，有

【答案】方法一：由已知条件得

整理化简得

方法二：先由y 的表达式，解出

再两边取微分，得

3．

设悬链方程为

它在上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为：该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t 处的截面面积分别记为

证明：(1)

(2)

(3)

【答案】(1)由弧长公式得

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由定积分的几何意义可得

(2)旋转体体积为

侧面积为

所以

(3)x=t 处的截面面积为

所以

4． 证明：若在上可积，在

上严格单调且在上可积，则有

【答案】

设则由定积分定义，对任给的

使得对的任何分割及

分点的任何取法，只要

就有

由

在上可积知

，

在上有界.

设

如果则此时

结论显然成立。

现设

由于

在

上连续，

又由于

在

上可积，故有界，又由导函数的达布

定理知没有第一类间断点，故在上连续.从而一致连续，故存在

使得当

且

时，恒有

和

对于

上的任何分割

及任意分点

在

上对

用拉格朗日中值定理，得

令

，则

得的一个分

割满

足

且

从而当

时(此时

且

有

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故

即

5． 试用聚点定理证明柯西收敛准则。

【答案】设

收敛，令于是，对任给的

存在正整数N ,使得当

时，

有

于是

设数列

满足柯西收敛准则的条件.

如果集合

只含有有限多个不同的实数，则从某一

项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立.此时，这个常数就是数列的极限.

如果集合

含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的.于是由聚点定理，集合

至少

有一个聚点

假如

有两个不等的聚点

不妨设

令

则与

都含有集合

中

无限多个点.这与取

存在正

整数N ，当时，有矛盾.故的聚点是惟一的，记之为 对于任意存在N ,使得当时，又因为是

的聚点，所以存在

使得

因而，当

时，

故数列收敛于

6． 设函数列

在区间I 上一致收敛，且对每个n ，

都是I 上的有界

函数(不要求一致有界).证明

：

在I 上必一致收敛. 【答案】

首先证明f (x )，g (x )在I 上有界.存在正整数

使得

而

所以

同理可证g (x )在I 上也有界.设

其次证明在I 上一致有界.

由

故存在正整

数

当时有

因此

当

时有