苏州市2013-2014学年第一学期高三期中考试数学试卷及答案(WORD版

3x m，(x 2)

9．已知实数m 0,函数f(x) ，若f(2 m) f(2 m )，则实数m的值为 ．

x 2m，(x 2)

10．设x 0，y 0且x 2y 1，则2x 3y的最小值为

a11．已知数列{an}是等差数列，且1，它的前n项和Sn有最小值，则Sn取到最小正数时n

a612．设a b 0，则a2 1

ab

2

的值为 ．

1的最小值为 ． aa b13．正项数列{an}满足a1 = 1，a2 = 2，又{anan 1}是以

1

为公比的等比数列，则使得不等式2

111

＞2013成立的最小整数n为 ．

a1a2a2n 1

14．已知定义在R上的可导函数y f(x)的导函数为f(x)，满足f(x) f(x)，且

//

y f(x 1)为偶函数，f(2) 1，则不等式f(x) ex的解集为

19．(本题满分16分)已知各项均为整数的数列{an}满足a3 1，a7 4，前6项依次成等差数列，

从第5项起依次成等比数列．(I)求数列{an}的通项公式；(II)求出所有的正整数m ，使得

am am 1 am 2 amam 1am 2．

20．(本题满分16分)已知函数f(x) x a

a

lnx,a R，(I)求函数f(x)的单调区间；(II)2

2

若函数f(x)有两个零点x1,x2，(x1 x2)，求证：1 x1 a x2 a．

3．32 4． 5． ,0 1, 6．0 7．2

2

8． ,1 9．-8和8 10． 11．12 12．4 13．6 14．(0, )

43

1．{4} 2

．-19．解：(I) 设数列前6项的公差为d，则a5 1 2d，a6 1 3d(d为整数)

又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d 1)2 4(2d 1)，

即9d2 14d 5 0，得d 1. …………………………………………………………4 分 当n 6 时，an n 4，…………………………………………………………………6 分 所以a5 1，a6 2，数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n 5时，an 2

n 5

.

n 4,(n 4)

故an n 5…………………………………………………………………8分

2,(n 5)

(II)由(I)知，数列{an} 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…

当m 1时等式成立，即 3 2 1 6 ( 3) ( 2) ( 1)；

当m 3时等式成立，即 1 0 1 0 ( 1) 0 1；……………………………………10分 当m 2或4时等式不成立；………………………………………………………………12分 当m≥5 时，am am 1 am 2 2

2m 7

m 5

3m 12

(23 1) 7 2m 5，amam 1am 2 2

若am am 1 am 2 amam 1am 2，则7 2m 5 23m 12，所以22m 7 7……………14分

m 5， 2

8，从而方程22m 7 7无解

所以am am 1 am 2 amam 1am 2 .

故所求m 1或m 3．…………………………………………………………………16分

20．解：(I)依题意有，函数的定义域为(0, )，

当a 0时，f(x) x a alnx x a alnx

22

f (x) 1 a 0，函数f(x)的单调增区间为(0, )，…………………………………4 分

2x

x a lnx, 2当a 0时，f(x) x a lnx

2 a x lnx,

2

x a0 x a

若x a，f (x) 1 0，此时函数单调递增， ……………………………6分

2x2x

若x a，f (x) 1 0，此时函数单调递减， ……………………………………8分

2x综上所述，当a 0时，函数f(x)的单调增区间为(0, )，

当a 0时，函数f(x)的单调减区间为(0,a)，单调增区间为(a, )

(II)由(I)知，当a 0时，函数f(x)单调递增，至多只有一个零点，不合题意；

则必有a 0，………………………………………………………………………………10分 此时函数f(x)的单调减区间为(0,a)，单调增区间为(a, )， 由题意，必须f(a) lna 0，解得a 1

2

由f(1) a 1 ln1 a 1 0，f(a) 0，得x1 (1,a)……………………………12分

2

而f(a) a a alna a(a 1 lna) 下面证明：a 1时，a 1 lna 0

设g(x) x 1 lnx，(x 1)，则g (x) 1 1 x 1 0

xx 所以g(x)在x 1时递增，则g(x) g(1) 0

所以f(a2) a2 a alna a(a 1 lna) 0 ……………………………………14分 又因为f(a) 0，所以x2 (a,a2)

综上所述，1 x1 a x2 a2 …………………………………………………………16分

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