2017_2018学年高中数学第二章解三角形2.2三角形中的几何计算习题

§2三角形中的几何计算

课后篇巩固探究

1.在△ABC中,若A=105°,B=30°,BC=,则角B的平分线的长是()

A. B.2 C.1 D.

解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC=,由正弦定

理可知BD=1.

答案:C

2.在△ABC中,若AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()

A. B.

C. D.

解析:如图,在△ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B,

即7=AB2+4-2×2×AB×.

整理得AB2-2AB-3=0.

解得AB=3或AB=-1(舍去).

故BC边上的高AD=AB·sin B=3×sin 60°=.

答案:B

3.若△ABC的周长等于20,面积是 10,A=60°,则BC边的长是()

A.5

B.6

C.7

D.8

解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=bc sin A,得10bc×sin 60°,即bc=40.

又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-2bc cos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,

所以a2=(20-a)2-120,解得a=7.

答案:C

4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足c sin A=a cos C.当sin A-cos

取最大值时,A的大小为()

A. B.

C. D.

解析:由正弦定理得sin C sin A=sin A cos C.

因为0<A<π,所以sin A>0,

从而sin C=cos C.

又cos C≠0,所以tan C=1,则C=,

所以B=-A.

于是sin A-cos sin A-cos(π-A)

=sin A+cos A=2sin.

因为0<A<,所以<A+,所以当A+,

即A=时,2sin取最大值2.

答案:A

5.导学号33194042在△ABC中,若C=60°,c=2,周长为2(1+),则A 为()

A.30°

B.45°

C.45°或75°

D.60°

解析:根据正弦定理,得2R=

=

=,所以sin A+sin B+sin 60°=,所以sin A+sin B=,即sin

A+sin(A+C)=?sin(A+60°)+sin A=sin(A+30°)=?sin(A+30°)=,所以A+30°=75°或A+30°=105°,

所以A=45°或A=75°.

答案:C

6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边之比为3∶2,则这个三角形的面积是.

解析:设另两边分别为3x,2x,则

cos 60°=,解得x=,

故两边长为3和2,

所以S=×3×2×sin 60°=.

答案:

7.已知在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD是△ABC的角平分线,则AD=.

解析:如图,S△ABC=S△ABD+S△ACD,

所以×3×2sin 60°=×3AD sin 30°+×2AD×sin 30°,所以AD=.