《数学周报》杯2010年全国初中数学竞赛答案

有答案。

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1.B 2.D 3.D 4.C 5.C 6.D 7.B 8.B

．

二、填空题

9.众数，平均数，中位数。 10. 1+3或1-3 11.等边三角形 12．0

13.15 14.y 三、解答题

13

x+

113

15.

5 12

16.9

17解：（1）因为点A（1，4）在双曲线y 数表达式为y

4xt

kx

上，所以k=4. 故双曲线的函

.

4

设点B（t，），t 0，AB所在直线的函数表达式为y mx n，则有

4 m n，

4

mt n， t

解得m

4t

，n

4(t 1)t

.

4(t 1)

t

于是，直线AB与y轴的交点坐标为 0,

S AOB

12

（4t 1）

t

，故

1 t 3，

t 2 ，0 整理得 2t2 3

解得t 2，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（ 2， 2）．

2

1

因为点A，B都在抛物线y ax2 bx（a 0）上，所以

a b 4，

4a 2b 2，

有答案。

解得

a 1， b 3.

…………（8分）

（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（ 4，4），于是CO＝42.

又BO=22，所以

COBO

2.

设抛物线y ax2 bx（a 0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（ 3，0）.

因为∠COD＝∠BOD＝45 ，所以∠COB=90 .

（i）将△BOA绕点O顺时针旋转90 ，得到△B OA1.这时，点B ( 2，2)是CO的中点，点A1的坐标为（4， 1）.

延长OA1到点E1，使得OE1=2OA1，这时点E1（8， 2）是符合条件的点. （ii）作△BOA关于x轴的对称图形△B OA2，得到点A2（1， 4）；延长OA2

到点E2，使得OE2＝2OA2，这时点E２（2， 8）是符合条件的点．

所以，点E的坐标是（8， 2），或（2， 8）. …………（15分）

18．解：由

3a 10ab 8b 5a 10b 0

2

2

可得 a 2b 3a 4b 5 0，

所以 a 2b 0，或 3a 4b 5 0. …………（4分）

（i）当a 2b 0时，

u 9a 72b 2 36b 72b 2 36 b 1 34

2

2

2

，

于是b 1时，u的最小值为 34，此时a 2，b 1. …………（10分）

（ii）当3a 4b 5 0时，

u 9a 72b 2 16b 32b 27 16 b 1 11，

2

2

2

于是b 1时，u的最小值为11，此时a 3，b 1.

综上可知，u的最小值为 34. …………（15分）

有答案。

19证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以

ED⊥BC， FD⊥BC，

因此D，E，F三点共线. …………（5分） 连接AE，AF，则

AEF ABC ACB AFD

，

所以，△ABC∽△AEF. …………（10分）

作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得

EFBC

EFBC

AHAPPDAP

，

从而 ，

PDAP

EFBC1x

PAD 所以 tan. …………（20分）

20．解：（1）由方程①知，x 0，且y＝x＋当x 0时，y≤ 2，故

. 所以，当x 0时，y≥2；

y≥2. …………（5分）

（2）将x2 xy 1代入方程②，得x(y2 ay b) 0，所以

y ay b 0

2

.

因为方程组有实数解，所以方程y2＋ay＋b＝0在y ≤-2，或y≥2的范围内至少有一个实根.

（i） 当a≤4时，有

2

2， 或

2

≥2，

所以

≥4 a， 或

≥4 a，

即 2a≥b 4， 或 2a≤ (b 4).

若b 4≥0，即b≥ 4时，2a≥b 4，由此得

2

a

≥

b

2

4

2b 4，

有答案。

所以 a2＋b2≥b2＋2b＋4＝(b＋)2＋

4

4

5

554165

≥

165

，

当b＝

45

时，上式等号成立，此时a＝±.

5

8

若b 4 0，即b 4时，对于满足2a≥b 4，或2a≤ (b 4)的任意实数a，均有a2＋b2＞

16. …………（15分）

5

（ii）当a 4时， a2＋b2＞

165

.

综上可知，a2＋b2的最小值为16

5

.

…………（20