[名校联盟]浙江省富阳市第二中学高中数学选修2-3课件：2.2.2事件

2.2.2 事件的相互独立性

复习回顾①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.

②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是 什么？ P(A+B)=P(A)+(B) ③若A与A为对立事件，则P(A)与P(A)关系 如何？

P(A)+P(ā)=1

复习回顾(4).条件概率设事件A和事件B,且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).Zx```xk

(5).条件概率计算公式:n( AB) P( AB) P( B | A) n( A) P( A)

问题探究：我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影 响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的， 但有时事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影 响，比如依次抛掷两枚硬币的结果(事件A)对抛掷第二枚硬币的结果(事件B)没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗？

下面看一例

在大小均匀的5个乒乓球中有3个红球，2个白球，每 次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红球 (事件A)的条件下，第二次取到红球(事件B)的概率。事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率是 否有影响？

再看一例：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子 里 有2个白球，2个黑球，若从这两个坛子里 分别摸出1 个球，则它们都是白球的概率是多少？若A=从甲坛子里摸出一个球，得到白球 B=从乙坛子里摸出一个球，得到白球 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率是 否有影响？

结论：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发 生的概率没有影响

相互独立事件及其同时发生的概率1、事件的相互独立性 设A,B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。 即事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的 概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。

注：①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响。

②如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B,A与B是不是 相互独立的？ 相互独立

2、相互独立事件同时发生的概率公式：“第一、第二次都取到红球”是一个事件， 它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作AB 两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生的概 率为：

P( AB) P( A) P( B)这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件A1,A2……,An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即

P(A1A2

……An)=P(A1)P(A2)……P(An)

试一试 判断事件A, B 是否为互斥、相互独立事件?1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”, 事件B表示“第2球罚中”. A与B为互独事件Zx```x`````k

2.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中不放回依次取2 球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑 球” A与B为非互独也非互斥事件 3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中有放回依次取2球. 事件A为“取出的是白球”.事件B为“取出的是白 球”. A与B为相互独立事件

例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑 奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以下事件的 概率： (1)都抽到某一指定号码；

(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码。

(1) P (AB)=P(A)P(B)=0.05 0.05=0.0025

(2) P (AB)+P(AB)=0.095(3) P (AB)+P(AB)+P(AB)=0.0975或(1-P(AB))

例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6,计算：(1)两人都击中目标的概率；

(2)其中恰由 1人击中目标的概率 解： (1) 记“甲射击 1次,击中目标”为事件A.“乙 射 击1次,击中目标”为事件 且B. A与B相互独立， (3)至少有一人击中目标的概率 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同 时发生， 根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到 P(AB)=P(A) P(B)=0.6×0.6=0.36

答：两人都击中目标的概率是0.36

例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6,计算 (2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种 情况:一种是甲击中, 乙未击中(事件 ) AB 另一种是甲未 击中，乙击中(事件āB发生)。 根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件āB与 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 A B互斥， 事件的概率乘法公式，所求的概率是: Z````x```xk

P( AB) P( AB) P( A) P( B) P( A) P( B) 0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6 0.24 0.24 0.48

答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.

例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6,计算： (3)至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是P P( AB) [ P( AB) P( AB)] 0.36 0.48 0.84

解法2:两人都未击中的概率是 P( AB) P( A) P( B) (1 0.6) (1 0.6) 0.16,因此，至少有一人击中目标的概率 P 1 P( AB) 1 0.16 0.84 答：至少有一人击中的概率是0.84.

巩固练习

生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率 是97%,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品 的概率是多少？ 解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为 事件A,从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么， 2件都是合格品就是事件A B发生，又事件A与B相互独 立，所以抽到合格品的概率为P ( AB ) P ( A) P ( B ) 96 97 582 100 100 625

答：抽到合格品的概率是

582 625

例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.

解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是 Z`````x```xk

P( ABC ) P( A) P( B) P(C ) [1 P( A)][1 P( B)][1 P(C )] (1 0.7)(1 0.7)(1 0.7) 0.027所以这段事件内线路正常工作的概率是

1 P( ABC) 1 0.027 0.973答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973

讨论研究

概率 P( A B)

意义 A、B同时发生的概率 A不发生B发生的概率 A发生B不发生的概率

P( A B) P( A B)P( A B)P( A B A B)

A、B都不发生的概率A、B中恰有一个发生的概率

1 P( A B)1 P( A B)

A、B中至少有一个发生的概率A、B中至多有一个发生的概率