1-7 线性空间的同构

矩阵论

矩阵论电子教程

哈尔滨工程大学理学院应用数学系

Department of Mathematics, College of Sciences

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第 一 章线性空间与线性映射

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§1.7 线性空间的同构我们知道，在数域F上的 维线性空间V中取定 上的n维线性空间 我们知道，在数域 上的 维线性空间 中取定 一组基后， 中每一个向量 有唯一确定的坐标: 一组基后， V中每一个向量α 有唯一确定的坐标 向量的坐标是F上的 元数组 向量的坐标是 上的n元数组，因此属于 F n ,这样 上的 元数组， 这样 对于V中每一个向量 对于 中每一个向量 α ,令α 在这组基下的坐标为 令 (a1 , a2 , , an ), 则 (a1 , a2 , , an )与α 对应，就得到 到 对应，就得到V 一来，取定了 的一组基 ε 1 , ε 2 , , ε n , 一来，取定了V

F n 的一个单射

σ : V → P , α (a1 , a2 , , an )n

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反过来， 反过来，对于 F n中的任一元素(a1 , a2 , , an ), 中唯一确定的元素， 是V中唯一确定的元素，并且 中唯一确定的元素 并且:

α = ε 1a1 + ε 2a2 + + ε nan也是满射. 即 σ 也是满射

σ 因此， 是V到 F n 的一一对应. 因此， 到 的一一对应σ (α ) = (a1 , a2 , , an ),这个对应的重要性表现在它与运算的关系上. 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.Department of Mathematics

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一、同构映射的定义 都是数域P上的线性空间 上的线性空间， 设 V ,V ′ 都是数域 上的线性空间，如果映射

σ:V → V ′ 具有以下性质： 具有以下性质：i) σ 为双射 ii) σ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ), iii) σ ( kα ) = kσ (α ) ,

α , β ∈ V

k ∈ P , α ∈ V

的一个同构映射 同构映射， 则称 σ 是V 到V ′ 的一个同构映射，并称线性空间

V 与V ′ 同构，记作 V V ′. 同构，Department of Mathematics

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为数域F上的 维线性空间， 例1、V为数域 上的 维线性空间，ε 1 , ε 2 , , ε n 、 为数域 上的n维线性空间 的一组基， 为V的一组基，则前面 到 F 的一一对应 的一组基 则前面V到n

σ : V → Fnα (a1 , a2 , , an ) α ∈ V这里( a1 , a2 , , an ) α 在 ε 1 , ε 2 , , ε n基下的坐标 为 就是一个V到 的同构映射， 就是一个 到 F 的同构映射，所以n

V FnDepartment of Mathematics

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二、同构的有关结论 1、数域 上任一 维线性空间都与 n同构 、数域F上任一 维线性空间都与F 同构. 上任一n维线性空间都与 2、设 V ,V ′ 是数域 上的线性空间， 是V 到V ′ 的 、 是数域F上的线性空间 σ 上的线性空间， 同构映射， 同构映射，则有 1) σ ( 0 ) = 0, σ ( α ) = σ ( α ) . ) 2) σ ( k1α1 + k2α 2 + + krα r ) )

= k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + + krσ (α r ),

α i ∈ V , ki ∈ P ,Department of Mathematics

i = 1,2, , r .

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3)V中向量组 α1 ,α 2 , ,α r 线性相关(线性无关) ) 中向量组 线性相关(线性无关) 的充要条件是它们的象 σ (α1 ),σ (α 2 ), ,σ (α r ) 线性相关(线性无关) 线性相关(线性无关). 4) dimV = dimV ′. ) 5)σ:V → V ′ 的逆映射 σ 1 为 V ′到V 的同构映射. ) 的同构映射 6) 若W是V 的子空间，则W 在σ 下的象集 ) 是 的子空间，

σ (W ) = {σ (α ) α ∈ W }子空间， 是的 V ′子空间，且 dimW = dim σ (W ).Department of Mathematics

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证： 1)在同构映射定义的条件 )在同构映射定义的条件iii) σ ( kα ) = kσ ( α ) 中分别取 k = 0与k = 1, 即得 σ ( 0 ) = 0, σ ( α ) = σ (α ) 2)这是同构映射定义中条件 与iii)结合的结果 )这是同构映射定义中条件ii)与 结合的结果 结合的结果. 3)因为由 k1α1 + k2α 2 + + krα r = 0 ) 可得 k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + + krσ (α r ) = 0 反过来， 反过来，由 k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + + krσ (α r ) = 0 可得 σ ( k1α1 + k2α 2 + + krα r ) = 0.Department of Mathematics

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是一一对应， 而 σ 是一一对应，只有 σ (0) = 0. 所以可得 k1α1 + k2α 2 + + krα r = 0.

α 因此， 线性相关(线性无关) 因此， 1 ,α 2 , ,α r 线性相关(线性无关) σ (α1 ),σ (α 2 ), ,σ (α r ) 线性相关(线性无关). 线性相关(线性无关)4)设 dimV = n, ε 1 , ε 2 , , ε n 为V 中任意一组基 ) 中任意一组基.

σ 的一组基. 由2)3)知， (ε 1 ),σ (ε 2 ), ,σ (ε n )为 σ 的一组基 ) )所以 dimV ′ = n = dimV .Department of Mathematics

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5)首先 σ 1 :V ′ → V 是1-1对应，并且 ) 对应， - 对应 1 1 为恒等变换. 为恒等变换 σ σ = IV ′ , σ σ = IV , I为恒等变换 任取 α ′, β ′ ∈ V ′,

σ

σ (σ 1 (α ′ + β ′ )) = σ σ 1 (α ′ + β ′ ) = α ′ + β ′= σ σ 1 (α ′ ) + σ σ 1 ( β ′ ) = σ (σ 1 (α ′ )) + σ (σ 1 ( β ′ )) = σ (σ 1 (α ′ ) + σ 1 ( β ′ ))

σ 是单射，有 σ 1 (α ′ + β ′) = σ 1 (α ′ ) + σ 1 ( β ′ ) 再由 是单射，′ ) = kσ 1 (α ′ ), 同理， 同理，有 σ ( kα 1

α ′ ∈ V ′ , k ∈ P

所以， 的同构映射. 所以， 1为 V ′到V 的同构映射 σDepartment of Mathematics

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6)首先， σ (W ) σ (V ) = V ′ )首先，

且 ∵ 0= σ ( 0 ) ∈ σ (W ) , ∴ σ (W ) ≠ 其次， 其次，对 α ′, β ′ ∈ σ (W ) , 有W中的向量 α , β 中的向量 使 σ ( α ) = α ′,σ ( β ) = β ′. 于是有 α ′ + β ′ = σ ( α ) + σ ( β ) = σ (α + β )

kα ′ = kσ (α ) = σ ( kα ) , k ∈ P由于W为子空间， 由于 为子空间，所以 α + β ∈ W , kα ∈ W . 为子空间 从而有 α ′ + β ′ ∈ σ (W ) , kα ′ ∈ σ (W ) .

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子空间. 所以 σ (W ) 是的 V ′ 子空间 显然， 也为W到 的同构映射， 显然，σ 也为 到 σ (W ) 的同构映射，即

W σ (W ) 故 dim W = dim σ (W ).

注

可知， 由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合 可知 同构映射保持零元、负元、

及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间. 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间

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3、两个同构映射的乘积还是同构映射 、两个同构映射的乘积还是同构映射. 证：设 σ:V → V ′, τ : V ′ → V ′′ 为线性空间的同构 映射， 对应. 映射，则乘积 τ σ 是 V 到V ′′ 的1-1对应 - 对应 任取 α,β ∈ V , k ∈ P , 有

τ σ (α + β ) = τ (σ (α ) + σ ( β ) )

τ σ ( kα ) = τ (σ ( kα ) ) = τ ( kσ (α ) )= kτ (σ (α ) ) = kτ σ (α )

= τ (σ (α ) ) + τ (σ ( β ) ) = τ σ (α ) + τ σ ( β )

所以， 的同构映射. 所以，乘积 τ σ 是 V 到V ′′ 的同构映射Department of Mathematics

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注同构关系具有： 同构关系具有： 反身性： 反身性： V V 对称性： V V ′ V ′ V 对称性： 传递性：V V ′, V ′ V ′′ V V ′′ 传递性：σ τ τ σσ σ 1

IV

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4、数域 上的两个有限维线性空间 V1 ,V2 同构 、数域F上的两个有限维线性空间

dimV1 = dimV2 .证： " " 若 V1 V2 ,由性质 之4)即得 由性质2之 )

dimV1 = dimV2 ." " (法一)若 dimV1 = dimV2 , 法一)

由性质1 由性质 ，有 V1 P n , V2 P n

∴V1 V2 .

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