第二章_极限与连续—复习课-高兵龙

第二章 极限与连续

习题课主讲： 高兵龙

第二章 极限与连续

主要内容(一)极限 (二)连续

(一)极限数列极限lim x n an x

函

数

极x x0

限

无穷大lim f ( x )

lim f ( x ) A

lim f ( x ) A

两者的 关系

极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则

左右极限

无穷小的比较

无穷小lim f ( x ) 0

两个重要 极限

等价无穷小 及其性质

无穷小 的性质

求极限的常用方法

极限的运算

1、极限的定义" " 定义定义1 0, 0, 使当0 x x 0 时,

恒有 f ( x ) A .记为 lim f ( x ) A 或x x0

f ( x ) A(当x x 0 )

" N "定义定义2 0, N 0, 使n N时, 恒有 xn a .记为 lim x n a , 或 x n a ( n ).n

单侧极限左极限 0, 0, 使当x 0 x x 0时,

恒有 f ( x ) A .

记作 lim f ( x ) A 或x x0

f ( x0 ) A .

右极限

0, 0, 使当x 0 x x 0 时, 恒有 f ( x ) A .

记作 lim f ( x ) A 或x x0

f ( x0 ) A .

定理 : lim f ( x ) A f ( x0 ) f ( x0 ) A.x x0

2、无穷小与无穷大无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.记作 lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).x x0 x

无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.记作 lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).x x0 x

无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不 为零的无穷小的倒数为无穷大.

无穷小的运算性质定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 定理3 有限个无穷小的乘积仍为无穷小.

3、极限的性质(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B;

定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则

熟练应 用

f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B 推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[cf ( x )] c lim f ( x ).推论2

如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .

4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; 学以致 用

c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;

e.利用左右极限求分段函数极限； f.利用极限存在的两个准则求极限；g.利用两个重要极限求极限； h.利用等价无穷小代换求极限； i.利用初等函数的连续性求极限.

5、判定极限存在的准则准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x 0 , r ) (

或 x M )时,有0

(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) lim g ( x ) A, lim h( x ) A,x x0 ( x ) x x0 ( x )

那末 lim f ( x ) 存在,且等于 A .x x0 ( x )

准则Ⅱ′ 单调有界数列必有极限

6、两个重要极限(1)

重点知 识

sin x lim 1 x 0 x

sin x lim 0 x x

(2)

1 x lim (1 ) e x x

lim(1 x) ex 0

1 x

7、无穷小的比较定义:设 , 是同一过程中的两个无穷小, 且 0. (1) 如果 lim 0, 就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( ); ( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;

( 3) 如果 lim k C (C 0, k 0), 就说 是 是k阶的 无穷小.

8、等价无穷小的性质定理(等价无穷小替换定理) 设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .

9、极限的性质1.唯一性; 2.有界性; 3.保号性; 4.夹逼性; 5.函数极限与数列极限的关系. (数列极限与子列极限的关系)

10、利用等价无穷小量代换求极限利用等价无穷小量代换定理，可以简化极限 的计算。在计算中，常用到下列几组等价无穷 小量：当 x →0 时，x2 1、 x 0 x, sin x 2、 x x, tan 3、 cos x , 1 2 4、 x) x, 5、e x 1 x, 6、 ln(1 arcsin x x, x n 7、 arctan x x, 8、1 x 1 . n

(二)连续连 x 0

续

定

义

lim y 0

x x0

lim f ( x ) f ( x 0 )

间断点定义

左右连续在区间[a,b] 上连续

连续的 充要条件连续函数的 运算性质

第一类 第二类 可跳 去跃 间间 断断 点点 无振 穷荡 间间 断断 点点

初等函数的连续性

闭区间上连续 函数的性质

1、连续的定义定义1

若 lim y 0, 或 lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, x 0 x 0

则称函数y =f (x)在点x0连续. 定义2

若 lim f ( x ) f ( x0 ),x x0

则称函数y =f (x)在点x0连续.