第三章 多维随机变量及其分布考研试题及答案

第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题

1.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律，且X的分布律为

则随机变量Z max{X,Y}的分布律为 .

【解题分析】首先要根据Z的定义确定Z的取值范围,然后求Z取值的概率即可. 解: 由于X,Y仅取0、1两个数值，故Z也仅取0和1两个数值，因X,Y相互独立，故 P{Z 0} P{max(X,Y) 0} P{X 0,Y 0}

111

P{X 0}P{Y 0} ,

2243

P{Z 1} 1 P{Z 0} .

4Z的分布律为

2．（2003年数学一）设二维随机变量 X,Y 的概率密度为

6x,0 x y 1,

则P{x y 1}= . f(x,y)

0,其它.

【解题分析】利用P

X，Y D f x，y dxdy求解.

D

解: 如图10-5所示

图10-5

P(x y 1) 6xdxy dx

D

120

1 xx

6dxdy

1． 4

二、选择题

1.(1990年数学三)设随机变量X和Y相互独立,其概率分布律为

则下列式子正确的是（ ）．

A．X Y;

B．P{X Y} 0; D．P{X Y} 1.

C．P{X Y} 2;

【解题分析】乍看似乎答案是A,理由是X和Y同分布,但这是错误的,因为,若X Y,说明X取什么值时, Y也一定取相同的值,而这是不可能的,所以只能从剩下的三个答案中选一个,这时只要直接计算P X Y 即可.

解: 由X和Y相互独立知

P{X Y} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1}

P{X 1}P{Y 1} P{X 1}P{Y 1} 11111

. 22222

所以,正确答案是C.

2.(1999年数学三)设随机变量Xi

1 1 401

(i 1,2),且满足P X1X2 0 1,11 24

则P{X1 X2}等于（ ）．

A．0； B．

11

； C．； D．1. 42

【解题分析】本题应从所给条件P X1

X2 0 1出发,找出随机变量X1,X2的联合分布.

解: 设随机变量

X1,X2的联合分布为

由 P{X1X2 0} P{X1 0,X2 1} P{X1 0,X2 1}

P{X1 1,X2 0} P{X1 1,X2 0} P{X1 0,X2 0} p21 p23 p12 p32 p22 1

知 p11 p13 p31 p33 0,

11

p11 p31 , 44111

类似地 p23 ,p12 ,p32 .

444

1

进一步可知 p22 p12 p32 0.

2

从而有 p21

即 p11 p22 p33 0.

因此有P{X1 X2} 0.正确答案是A.

3.(1999年数学四)假设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y min{X,2}的分布函数（ ）．

A．是连续函数； B．至少有两个间断点； C．是阶梯函数； D．恰好有一个间断点.

【解题分析】从公式Fz z Pmin X，Y z 1 Pmin X，Y z

1 P X z,Y z 1 P X z P Y z 1 1 FX z 1 FY z

出发求解即可.

解: 由题设X令 1 X, 2 2,则

e x,x 0,

e( )

x 0. 0,

x 0, 0, 0,x 2,

F 1(x) F(x) 2 x

1 e,x 0, 1,x 2.

于是Y min{X,2} min{ 1, 2}的分布函数为

x 0, 0,

F(x) 1 (1 F 1(x))(1 F 2(x)) 1 e x,0 x 2,

1,x 2.

可见其仅有一个间断点x 2.正确答案是D.

4.(2002年数学四)设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则

A．f1(x) f2(x)必为某一随机变量的分布密度；

B．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数； C．F1(x) F2(x)必为某一随机变量的分布函数；

D.f1(x)f2(x)必为某一随机变量的分布密度．

解: 由于若随机变量X与Y相互独立，它们的分布函数分别为F1(x)与F2(y)，则

Z max{X,Y}的分布函数为Fz(z) F1(x)F2(y)，可知F1(x)F2(x)必为某一随机变量的

分布函数.故选择B.

注：本题与2002年高数一中的选择题类同.本题也可以用赋值法求解.

三、计算与证明题

1.(1994年数学三)假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,且同分布,P{Xi 0} 0.6,P{Xi 1} 0.4(i 1,2,3,4,)求行列式X

X1X3

X2X4

的概率分布.

【解题分析】X由2 2阶行列式表示,仍是一随机变量,且X X1X4 X2X3,由于

X1,X2,X3,X4独立同分布, 故X1X4与X2X3也是独立同分布的,因此可先求出X1X4和X2X3的分布律,再求X的分布律.

解: 记Y1 X1X4,Y2 X2X3,则X Y1 Y2.随机变量Y1和Y2独立同分布:

P{Y1 1} P{Y2 1} P{X2 1,X3 1} P X2 1 P X3 1 0.16. P{Y1 0} P{Y2 0} 1 0.16 0.84.

随机变量X Y1 Y2有三个可能值-1,0,1.易见

P{X 1} P{Y1 0,Y2 1} 0.84 0.16 0.1344, P{X 1} P{Y1 1,Y2 0} 0.16 0.84 0.1344,

P{X 0} 1 2 0.1344 0.7312.

于是

X

X1X3

X2X401 1

0.13440.73120.1344 ．

2 1

0.30.7 ,

2．(2003年数学三)设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布律为X而Y的分布密度为f y ,求随机变量U X Y的分布密度g(u).

【解题分析】本题是求随机变量函数的分布,这里的两随机变量一个是离散型,一个是连续型,我们仍然从求分布函数出发,根据X的不同取值,利用全概率公式来求解.

解: 设F(y)为y分布函数,则由全概率公式及X与Y的独立性可知,U X Y的分布函数为

G(u) P(U u) P(X Y u)

P X 1 P X Y u|X 1 P X 2 P X Y u|X 2

0.3P(X Y u|X 1) 0.7P(X Y u|X 2)

0.3P(Y u 1|X 1) 0.7P(Y u 2|X 2)

0.3P(Y u 1) 0.7P(Y u 2) 0.3F(u 1) 0.7F(u 2),

由此得 g(u) 0.3f(u 1) 0.7f(u 2).

3.(2006年数学四) 设二维随机变量 X，Y 的概率分布律为

其中a，b，c为常数,且X的数学期望EX 0.2,

P Y 0X 0 0.5,记Z X Y.求

(1) a，b，c的值;(2)Z的概率分布;(3)P X Z

【解题分析】要求a，b，c的值，只需要找到三个含有a，b，c的等式即可，这可以由分布函数的性质及题设中所给的两个条件得到；求Z的概率分布，首先要弄清楚Z的可能取值，由X，Y的取值可知，Z的可能取值为-2，-1，0，1，2，然后再求Z取值的概率；要求P X Z ，只需要转化为求关于X，Y的概率，由

P X Z P X X Y P Y 0 ，既可得出结论.

解: (1)由概率分布的性质知,a b c 0.6 1, 即 a b c 0.4．

由 EX 0.2,可得 a c 0.1． 再由

P Y 0X 0

得 a b 0.3.

P Y 0，X 0 PX 0

a b 0.1

0.5，

a b 0.5

解以上关于a，b，c的三个方程得 a 0.2,b 0.1,c 0.1.

(2) Z的可能取值为-2，-1，0，1，2,

P Z 2 P X 1,Y 1 0.2，

P Z 1 P X 1,Y 0 P X 0,Y 1 0.1，

P Z 0 P X 1,Y 1 P X 0,Y 0

P X 1,Y 1 0.3

P Z 1 P X 1,Y 0 P X 0,Y 1 0.3， P Z 2 P X 1,Y 1 0.1．

即Z的概率分布律为

(3) P X Z P X X Y P Y 0 =0 b 0.1 0.2. 4.(1987年数学一)设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为

e y, 1,0 x 1

fX(x) fY(y)

0,其它, 0,

y 0y 0

求Z 2X Y的概率密度函数.

【解题分析】此类问题,一般有两种解法:一种是先写出二维随机变量(X,Y)的联合概率分布密度函数,再计算Z 2X Y的概率分布密度函数,另一种是直接利用两独立随机变量和的分布密度计算公式(即卷积公式)求解.

解: 方法１ 由于随机变量X,Y相互独立,所以二维随机变量(X,Y)的 …… 此处隐藏：4550字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……