材料力学第6章 弯曲变形

材料力学第6章 弯曲变形

第六章 弯曲变形§6.1 工程中的弯曲变形问题 §6.2 挠曲线的微分方程 §6.3 用积分法求弯曲变形 §6.4 用叠加法求弯曲变形 §6.5 简单静不定问题 提高弯曲刚度的一些措施 §6.6 提高弯曲刚度的一些措施

材料力学第6章 弯曲变形

§6.1 工程中的弯曲变形问题弯曲变形广泛存在，要控制和利用它， 弯曲变形广泛存在，要控制和利用它，必 须首先研究它。 须首先研究它。 1)要控制弯曲变形的情况： )要控制弯曲变形的情况： 2)利用弯曲变形的情况： )利用弯曲变形的情况： 3)求解弯曲超静定问题。 )求解弯曲超静定问题。

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§6.2 挠曲线的微分方程1)梁的变形的度量 ) i)挠度：w 向上为正； )挠度： 向上为正； ii) 转角：θ逆时针为正； ) 转角： 逆时针为正 逆时针为正； iii) 挠曲线：变形后梁的轴线 ) 挠曲线： iv) 挠曲线方程：w = f (x) ) 挠曲线方程：w′ = dw = tanθ ≈θ dxθ w F d θ

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2) 挠曲线微分方程 挠曲线微分方程: 曲率公式: 曲率公式 由微积分: 由微积分Q w′2 << 1 1= M ρ EIzk= 1 =

ρ

w′′ (1+ w′2 )3/ 2

∴ 1 ≈ w′′

ρ

w′′ = M EIz

注意：坐标方向， 向上为正， 注意：坐标方向，w 向上为正， 若反向方程前有负号。 若反向方程前有负号。

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§6.3 用积分法求弯曲变形1)基本公式： )基本公式：d 2w = M( x) EIz dx2 dw =θ = M( x) dx + C ∫ EIz dx

M( x) w = ∫ ∫ dx dx + Cx + D EIz

C、D积分常数，由边界条件确定。 积分常数， 积分常数 由边界条件确定。

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2)边界条件： )边界条件： i)固定端： w = 0,θ= 0 )固定端： , ii)简支端： w = 0 )简支端： iii)铰链连接： w1 = w2 )铰链连接： iv)连续性条件： )连续性条件： w1 = w2,θ1=θ2

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例1:求挠曲线及 max、θmax :求挠曲线及w 解： EIw′′ = M = F(l x)EIw′ = EIθ = 1 Fx2 Flx + C 2

y l

F x

EIw = 1 Fx3 1 Flx2 + Cx + D 6 2

B.C.:x = 0, w = 0 D = 0 : , x = 0,θ= w’ = 0 C = 0 ,Fx2 (3l x) w= 6EI Fl 3 wmax = 3EI

Fl 2 θmax = 2EI

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例2:求挠曲线及 max、θmax :求挠曲线及w 解：EIw′′ = M = 1 qlx 1 qx22 2y q l x

EIw′ = EIθ = 1 qlx2 1 qx3 + C 4 6EIw = 1 qlx3 1 qx4 + Cx + D 12 24

B.C.:x = 0,w = 0 D= 0 : ,ql 3 x = l,w = 0 C = , 24

或：x = l/2,w’ = 0 ,ql 3 θmax = 24EI

qx 5ql 4 3 2 3 w= ( x 2lx + l ) wmax = 24EI 384EI

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y

例2:求挠曲线及 max :求挠曲线及w 解： FRA=Fb/l FRB=Fa/l AB:(0<x1<a) :

A

a

F l B

b C x

BC:(a<x2<l) :

′ EIw1′ = Fb x1 EIw′′ = Fb x2 F( x2 a) 2 l l 2 2 ′ EIw1 = Fb x1 + C1 EIw′ = Fb x2 + F ( x2 a)2 + C2 2 2l 2l 2 3 3 EIw1 = Fb x1 + C1 x1 + D1 EIw2 = Fb x2 F ( x2 a)3 + C2 x2 + D2 6l 6l 6

B.C.:x = 0,w1 = 0 D1= 0 : , x =

l,w2 = 0, Fb l 2 F b3 + C2l + D2 = 0 , , x = a,w1 = w2, w1′ = w2 ′ C1=C2 D1=D2 ,C2 = Fb (l 2 b2 ) 6l6 6

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[ ] EIw = Fb [( x l + b )x l ( x a) ] 6l b2 EIw′ = Fb (3x2 l 2 + b2 ) 3l ( x2 a)2 2 6l b 2 2 2 2 3 2 2 2

2 ′ EIw1 = Fb (3x1 l 2 + b2 ) 6l

Fbx1 2 2 2 EIw1 = ( x1 l + b ) 6ly A a F l B

b C x

最大挠度：当a > b时， 最大挠度： 时x0 = 1 (l 2 b2 ) 3 wmax = Fb (l 2 b2 )3 9 3EIl

wmax wl / 2 3 3l(3l 2 4b2 ) = 1 wl / 2 = Fb (3l 2 4b2 ) δ = wmax 48EI 16 (l 2 b2 )3

δmax = 2.65%

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讨论： 讨论： 1)本题BC段的弯矩方程也可列为 )本题 段的弯矩方程也可列为M2 = Pa (l x2 ) l

但积分常数就不一样。 但积分常数就不一样。

2)若a=b则要利用对称性，只求解一 ) 则要利用对称性， 则要利用对称性 边界条件变为： 半，边界条件变为：x = 0 时， w = 0 x = l /2 时θ =0

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例2:求挠曲线 ： 及wmaxA

y F l B C x

EIw′′ = F x 2 ′ = F x2 + C EIw 4

x = 0 时， w = 0x =l/2 时θ =0

EIw = F x3 + Cx + D 12 D=0 w = Fx (3l 2 4x2 ) 48EI

C=-Fl 2/16wmax Fl 3 = 48EI

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a

a a

分段: 分段 (0,0.5a), (0.5a,a), (a,1.5a), (1.5a,2a) 边界条件: 边界条件 当：x=0时，w = 0,w’= 0 时 ， 当：x=2a时，w = - l 时1 a FN a = q 2 2 2

1 FN = qa 8

FN a qa2 l = = EA 8EA

′ 当 和 时 连续性条件： 连续性条件： :x=a/2和3a/2时，w1 = w2, w1 = w′ 2

当：x=a时，w1 = w2, 时

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3)刚度条件： )刚度条件：

w max ≤ [ f ]

θ max ≤ [θ ]

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作业 6-1 -6.1 6.4(a) 加均布载荷 ，M= -qa2/2 加均布载荷q y q l1 ql 2 M= 2

x

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§6.4 用叠加法求弯曲变形原理： 原理： 多个载荷作用，弯矩图可以叠加， 多个载荷作用，弯矩图可以叠加，d 2w = M( x)是线性方程，所以 也可以叠加， 是线性方程，所以w 也可以叠加， 2 EIz dx

叠加法利用了已有的结果， 叠加法利用了已有的结果，所以较积分法 简洁，是应用最广泛的方法之一。 简洁，是应用最广泛的方法之一。