2017_2018学年高中数学第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.

1.1正弦定理

课后篇巩固探究

A组

1.在△ABC中,若,则B的值为()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

解析:因为,所以,

所以cos B=sin B,从而tan B=1,

又0°<B<180°,所以B=45°.

答案:B

2.在△ABC中,若B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是()

A. B. C. D.

解析:由已知得A=75°,所以B最小,故最短边是b.

由,得b=.

答案:A

3.在△ABC中,若b=8,c=8,S△ABC=16,则A等于()

A.30°

B.60°

C.30°或150°

D.60°或120°

解析:由三角形面积公式得×8×8·sin A=16,

于是sin A=,所以A=30°或A=150°.

答案:C

4.下列条件判断三角形解的情况,正确的是()

A.a=8,b=16,A=30°有两解

B.b=9,c=20,B=60°有一解

C.a=15,b=2,A=90°无解

D.a=30,b=25,A=150°有一解

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解析:对于A,sin B=sin A=1,所以B=90°,有一解;

对于B,sin C=sin B=>1,所以无解;

对于C,sin B=sin A=<1,

又A=90°,所以有一解;

对于D,sin B=sin A=<1,又A=150°,

所以有一解.

答案:D

5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A∶B=1∶2,且a∶b=1∶,则cos 2B的值是()

A.-

B.

C.-

D.

解析:由已知得,所以cos A=,解得A=30°,B=60°,所以cos 2B=cos 120°=-.

答案:A

6.在△ABC中,若a=,A=45°,则△ABC的外接圆半径为.

解析:因为2R==2,所以R=1.

答案:1

7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=.

解析:由正弦定理得,即,解得sin B=,又因为b>a,所以B=或B=.

答案:

8.导学号33194034在△ABC中,若sin A=2sin B cos C,sin2A=sin2B+sin2C,则△

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ABC的形状是.

解析:由sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理,

得a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形,且A=90°,

所以B+C=90°,B=90°-C,所以sin B=cos C.

由sin A=2sin B cos C,可得1=2sin2B,

所以sin2B=,sin B=,所以B=45°,C=45°.

所以△ABC为等腰直角三角形.

答案:等腰直角三角形

9.在△ABC中,sin(C-A)=1,sin B=.

(1)求sin A的值;

(2)设AC=,求△ABC的面积.

解(1)由sin(C-A)=1,-π<C-A<π,知C=A+.

又A+B+C=π,所以2A+B=,

即2A=-B,0<A<.

故cos 2A=sin B,即1-2sin2A=,sin A=.

(2)由(1)得cos A=,sin C=sin=cos A.

又由正弦定理,得,BC==3,

所以S△ABC =AC·BC·sin C

=AC·BC·cos A=3.

10.导学号33194035在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列.

(1)求cos B的值;

(2)边a,b,c成等比数列,求sin A sin C的值.

解(1)因为角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.

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又A+B+C=π,所以B=,所以cos B=.

(2)因为边a,b,c成等比数列,

所以b2=ac,根据正弦定理得sin2B=sin A sin C,

所以sin A sin C=sin2B=.

B组

1.已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围是()

A.x>2

B.x<2

C.2<x<2

D.2<x<2

解析:由题设条件可知解得2<x<2.

答案:C

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为()

A. B. C.1 D.

解析:因为3a=2b,所以b=a.

由正弦定理可知.

答案:D

3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+,则C=()

A. B. C.π D.

解析:由1+,从而cos A=,所以A=,由正弦定理得,解得sin C=,又C∈(0,π),所以C=或C=(舍去),选B.

答案:B

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4.设a,b,c三边分别是△ABC中三个内角A,B,C所对应的边,则直线x sin(π-A)+ay+c=0与bx-y cos+sin C=0的位置关系是()

A.平行

B.重合

C.垂直

D.相交但不垂直

解析:由已知得k1=-,k2=,因为,所以k1·k2=-=-=-1,所以两

直线垂直,故选C.

答案:C

5

.导学号33194036已知在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为

A,B,C,则的取值范围是.

解析:在锐角三角形ABC中,A,B,C均小于90°,

所以所以30°<B<45°.

由正弦定理得=2cos B∈(),

故的取值范围是().

答案:()

6.在△ABC中,已知sin B·sin C=cos 2,A=120°,a=12,则△ABC的面积为.

解析:因为sin B·sin C=cos 2,所以sin B·sin C=,所以2sin B sin C=cos A+1.

又因为A+B+C=π,所以cos A=cos(π-B-C)=-cos(B+C)=-cos B·cos C+sin B·sin C, 所以2sin B sin C=-cos B·cos C+sin B·sin C+1,

所以cos B·cos C+sin B·sin C=cos(B-C)=1.

因为B,C为△ABC的内角,所以B=C.

因为A=120°,所以B=C=30°.

由正弦定理得,b==4,

所以S△ABC =ab sin C=×12×4=12.

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答案:12

7.导学号33194037△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2=b(b+c),求证:A=2B.

证明由已知及正弦定理得,sin2A=sin2B+sin B·sin C,

因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B),

所以sin2A=sin2B+sin B·sin(A+B),

所以sin2A-sin2B=sin B·sin(A+B).

因为sin2A-sin2B=sin2A(sin2B+cos2B)-sin2B(sin2A+cos2A)=sin2A cos2B-cos2A sin2B

=(sin A cos B+cos A sin B)(sin A cos B-cos A sin B)

=sin(A+B)·sin(A-B),

所以sin(A+B)·sin(A-B)=sin B·sin(A+B).

因为A,B,C为△ABC的三个内角,所以sin(A+B)≠0,

所以sin(A-B)=sin B,所以只能有A-B=B,即A=2B.

8.导学号33194038在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知cos B=,

(1)判断△ABC的形状;

(2)若sin B=,b=3,求△ABC的面积.

解(1)因为cos B=,

所以cos B=,所以sin A=2cos B sin C.

又sin A=sin [π-(B+C)]

=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C,

所以sin B cos C+cos B sin C=2cos B sin C.

所以sin B cos C-cos B sin C=sin(B-C)=0.

所以在△ABC中,B=C,所以△ABC为等腰三角形.

(2)因为C=B,所以0<B<,c=b=3.

因为sin B=,所以cos B=.

所以sin A=sin [π-(B+C)]=sin(B+C)

=sin 2B=2sin B cos B=,

所以S△ABC =bc sin A=×3×3×=3.

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