概率论与数理统计第六章 数理统计的基本概念

第六章 样本与抽样分布§6.1 基本概念 §6.2 样本数字特征 §6.3 正态总体的抽样分布

数理统计的任务：

研究怎样用有效的方法去收集和使用带随机性影响的数字信息。

数理统计的定义：数理统计以概率论为理论基础，根据试验或观 察到的数据，对被研究的统计对象的统计特征， 如分布、期望和方差等作出科学的统计推断。 数理统计的内容：

如何收集、整理数据资料；如何对所得的数据资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、

特点作出推断.

概率论与数理统计的区别：在概率论中，我们所研究的随机变量，它的分布

都是假设已知的，在这一前提下去研究它的性质、特点和规律性，例如求出它的数字特征，讨论随 机变量函数的分布，介绍常用的各种分布等。 在数理统计中，我们研究的随机变量，它的分布 是未知的，或者是不完全知道的，人们是通过对

所研究的随机变量进行重复独立的观察，得到许多观察值，对这些数据进行分析，从而对所研究 的随机变量的分布作出种种推断的.

数理统计方法在各个领域都有广泛的应用：– 在农业中，对田间试验进行适当的设计和统计 分析。 – 实验设计法、回归设计和回归分析、方差分析、 多元分析等统计方法，在工业生产的试制新产 品和改进老产品、改革工艺流程、使用代用原 材料和寻求适当的配方等问题中起着广泛的作 用，统计质量管理在控制工业产品的质量中起 着十分重要的作用。

– 医学是较早使用数理统计方法的领域之一 。在 防治一种疾病时，需要找出导致这种疾病的种 种因素。统计方法在发现和验证这些因素上， 是一个重要工具。另一方面的应用是，用统计 方法确定一种药物对治疗某种疾病是否有用， 用处多大，以及比较几种药物或治疗方法的效 力。 – 在自然科学和技术科学中，如统计方法用于地 震、气象和水文方面的预报、地质资源的评介 等。 – 在社会、经济领域方面，如人口调查和预测， 心理学中能力方面的分析等。

本章我们介绍总体、随机样本及统计量等基本概 念，并着重介绍几个常用统计量及抽样分布.

§6.1 基本概念6.1.1 总体和样本 例1. 有一批灯泡，其质量以使用寿命衡量，规定寿 命不超过1000小时的为次品，问如何估计次品率？ 这里用X表示灯泡寿命，显然X为一个随机变量， 若随机变量X的分布已知，则其次品率就是概率 P{X≤1000}=F(1000).

例2. 测量某标准件厂生产的10万个螺丝的直径，问 如何估计直径的分布情况。 理想方式：逐一测试。

例3. 某建筑材料厂生产空心砖，其抗压强度是一 个随机变量X,我们衡量

产品质量好坏的一个重 要指标是平均抗压强度的大小，以及随机变量X 的期望E(X)的大小。

在数理统计中,我们往往研究有关对象的某一项 数量指标(例如研究某种型号灯泡的寿命这一数 量指标).为此,考虑与这一数量指标相联系的随机 试验,对这一数量指标进行试验或观察.

定义6.1.1 在数理统计中，我们将研究对象的全体 称为总体，组成总体的每个元素称为个体。总体 中随机抽取的若干个体构成的集合称为总体的样 本或子样，样本所包含个体的个数称为样本容量。 总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值， 因此它是某一随机变量X的值，这样，一个总体对应 于一个随机变量X.

我们对总体的研究就是对一个随机变量X的研 究，X的分布函数和数字特征就称为总体的分布函 数和数字特征.今后将不区分总体与相应的随机变 量，笼统称为总体X.

1. 总体：

研究对象的某项数量指标取值的全体。即，总体就是研究的随机变量X可能取值得全 体所成的集合。 总体的分布就是指随机变量X的分布。 2. 子体：组成总体的各个元素。 3. 样本：从总体中随机抽取n个个体，称为容量 (或大小)为n的样本(或称子样)。

如：例1中如果总体为全体灯泡，则每个灯泡就是 个体，选取的部分做寿命试验的灯泡就是样本； 如果把灯泡的寿命看作一个总体，每一个灯泡的 寿命是一个个体； 例2中如果把10万个螺丝看成一个总体，则 每个螺丝就是一个个体，选取的部分做测试的螺 丝即为样本； 例3中若总体为整批空心砖，则每块空心砖 为一个个体，选取的部分作为测试的砖的为样本。 在例1-例3中，只能根据部分个体(样本)对总体 作出某种推断。

在实际中，总体的分布一般是未知的，或只知道 它具有某种形式而其中 包含着未知参数.在数 理统计中人们都是通过从总体中抽去一部分个体， 根据获得的数据来对总体分布得出推断的，被抽 出的部分叫样本. 从例1-例3中可知，我们研究的对象是整体(总 体),但是观察的只是局部(样本),这使得： 某种程度上局部的特征能反映整体的特性； 局部不能完全准确的反映整体的特性。

对于抽样的要求：1、随机性，即总体中每个个体被抽到的可能性相 同； 2、独立性，即样本中每个个体的取值不影响其他 个体的取值。(每抽取一个个体都不会改变总体的 分布) 定义6.1.2 具有随机性和独立性的抽样方法称为简 单随机抽样，用简单随机抽样得到的样本称为简单 随机样本，简称样本。样本选定后得到一组具体数 值称为样本观察值或样本值。

注： 1、简单随机抽样即重复独立试验； 2

、抽得的样本 x1 , x2 , , xn 成为一组样本观察 X 值。则由抽样的随机性和独立性可知， 1 , X 2 , , X n 相互独立，并且 X i与X有相同分布。 3、设 X 1 , X 2 , , X n为总体 X 的容量为n的样本，若 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且每个都与总体 X有相 同分布，则称 X 1 , X 2 , , X n为总体X容量为n的简 单随机样本，简称样本。其观察值 x1 , x2 , , xn 称 为样本值。

由定义知：若 X1 , , X n 为X的一个样本，则 X1 , , X n 的联合分布函数为：F ( x1 , , xn ) F ( xi )i 1 n

若设X的概率密度为f,则 X1 , , X n 的联合概率密 度为： n

f ( x1 , , xn ) f ( xi )i 1

若总体X为离散型随机变量，则 X1 , , X n 的联合 概率分布为P X 1 x1 , , X n xn P X xi i 1 n