【数学】2010高考二轮复习数学学案(10)三角恒等变换

三角恒等变换

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1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在

（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；

（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围

（3）证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等

2.从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变

化

形

式

.

如

tan( )(1 tan tan ) tan tan

，

cos2

2

1 cos 1 cos

,sin2 等.从而可做到:222

3.三角函数恒等变形的基本策。

①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cosθ+sinθ=tanx²cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x 2cos2x (sin2x cos2x) cos2x 1 cos2x; 配凑角(常用角变换):2 ( ) ( )、2 ( ) ( )、

2

2

2

2

、

2

2

、 ( ) 等.

③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次

④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=a2 b2sin(θ+ )，这里辅助角 所在象限由a、b的符号确定， 角的值由tan =

b

确定。 a

4. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，

即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变

形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β） ，

001 tan300tan450 tan3001= sinα+cosα，==tan（45+30）等。 000

1 tan301 tan45tan30

2

2

【专题综合】

例1. （05

天津）已知sin(

4

)

7

，求sin 及tan( )． ,cos2

31025

解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

772 2

sin( ) (sin cos )，即sin cos 51042

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

①

77

cos2 cos2 sin2 (cos sin )(cos sin ) (cos sin ) 255

1

故cos sin ②

534

由①和②式得sin ，cos

553

因此，tan ，由两角和的正切公式

4

3

tan 4 3 48 3 tan( ) 3111 tan 334 31

4

解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得解得 sin

2

7

cos2 1 2sin2 ， 25

93，即sin 255

由sin(

4

)

772

可得sin cos

510

773

cos 0，且cos sin 0，故 在第二象限于是sin ， 555

74

从而cos sin

55

由于sin 以下同解法一

小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含 ）进行转换得到．

2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解

的情形．

例2. 已知A,B,C为锐角 ABC的三个内角，两向量p (2 2sinA,cosA sinA)，

q (sinA cosA,1 sinA)，若p与q是共线向量.

（1）求A的大小；

（2）求函数y 2sin2B cos(

C 3B

)取最大值时，B的大小. 2

解：（1） p//q 2(1 sinA)(1+sinA) sin2A-cos2A

2cos2A cos2A 0 1 2cos2A 0 cos2A

1

2

0<2A< ， 2A 1200 A=600

（2）

A=600 B+C=1200

1y=2sin2B+cos(600 2B) 1 cos2B+cos2B

2B

21

2B cos2B+1=sin(2B ) 1 26

6

当 2B

2

时，即B=

． 3

小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意

例3. 设关于x的方程sinx＋3cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β. (1)求α的取值范围; (2)求tan(α＋β)的值. 解: (1)∵sinx＋cosx＝2(∴方程化为sin(x＋

1 sinx＋cosx)＝2 sin(x＋), 232

a

)＝－.

23

∵方程sinx＋3cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解,

∴sin(x＋

3

)≠sin＝ . 332

又sin(x＋

)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解), 32

∴|－

aa3|<1 . 且－≠. 即|a|<2且a≠－3. 222

∴ a的取值范围是(－2, －3)∪(－, 2).

(2) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sinα＋cosα＋a＝0 ①.

sinβ＋cosβ＋a＝0 ②.

①－②得(sinα－ sinβ)＋3( cosα－ cosβ)＝0. ∴ 2sin

2

cos

2

－23sin

≠0,

2

sin

22

＝0, 又sin

2

∴tan

＝

. 3

2tan

∴tan(α＋β)＝

2 ＝3.

2 tan

2

小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π)这一条件. 例4. ABC中，已知内角A

(1)若x

3

，边BC 设内角B x,面积为y.

4

，求边AC的长；

(2)求y的最大值.

BC sinB解：（1

）由正弦定理得：AC sinA（2） ABC的内角和A B C ，A

3

0 B

2

3

AC y

BC

sinB 4sinx sinA

12 1AC BCsinC xsin(

x)= xx

sinx) 232

6sinxcosx 2x x )

6

2 7

0 x ， 2x

3666

当2x

6

2

即x

3

时，y

取得最大值小结：本题将三角函数、三角恒等变换与解三角形（正、余弦定理等）综合，考查学生灵活运用知识的能力 例5.已知函数f x

m 2sinx

在区间 0, 上单调递减，试求实数m的取值范围．

cosx 2

解：已知条件实际上给出了一个在区间 0,

2

上恒成立的不等式． 任取x

1,x2 0,

2

，且x1 x2，则不等式f x1 f x2 恒成立，m 2sinx1m 2sinx2

cosx

恒成立．化简得m cosx2 cosx1 2sin x1 x2 1cosx2

由0 x

1 x2

2

可知：cosx2 cosx x2 1 0，所以m

2sin x1cosx

2 cosx1

上式恒成立的条件为：m 2sin

x1 x2 x 在区间 cos2 cosx1