1.3函数关系的建立与经济学中常用函数

§1.3 函数关系的建立与经济学中常用的函数

1.3.1 函数关系的建立

应用数学方法解决实际问题，首先要找出问题中变量之间的关系 ——建立函数关系(或建立数学模型). 例1 设有一块边长为a的正方形薄板，将它的四角剪去边长相等 的小正方形，制作一只无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正 方形边长的函数. 解：设剪去的小正方形的边长为x,

a V x(a 2 x) , x (0, ). 2

2

盒子的体积为V，则

例2 某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商， 在这个基础上零售商每次多进100台电扇，则批发价相应降低2 元，批发商最大批发量为每次1000台，试将电扇批发价格P表示 为批发量的函数，并求零售商每次进800台电扇时的批发价格. 解：设批发量为 x , 所求函数的定义域为[500，1000]. 当零售商进 x 台电扇时,批发价格减少 所以，有

x 500 2 元 /台 . 100

x x 500 P 160 2 170 , x [500,1000]. 50 100

当x =800时, P=154元/台.

1.3.2 经济学中常用的函数

1. 需求函数：商品的需求量Q看作价格P的函数.记作 Q=f(P)

其反函数P=f -1(Q)也称为需求函数.

需求函数一般是价格的减函数. 需求函数通常有以下几种形式： 线性函数 Q aP b 幂函数

(a 0, b 0)

Q kP a

(k 0, a 0)

指数函数 Q ae bP

(a 0, b 0)

2. 供给函数：商品的供给量Q看作价格P的函数，记作 Q=g(P). 供给函数一般是价格的增函数. 供给函数通常有以下几种形式： 线性函数 Q aP b 幂函数

(a 0)

Q kPa

(k 0, a 0)

bP Q ae 指数函数

(a 0, b 0)

在同一坐标系中，需求曲线D 与供给曲线S的交点(P0, Q0)叫做 供需平衡点, 此时的价格P0称为 均衡价格.

3. 总收益函数：总收益是指生产者出售一定数量的产品所得全部 收入，用R表示.

R=PQ , 其中 P---产品的价格，Q ---销售量.

4. 总成本函数：总成本是指生产一定数量的产品所消耗的经济 资源或费用的总和，用C表示. 总成本一般由固定成本和可变成本两部分构成. C(Q)=C0+C1(Q)，其中 C0 ---固定成本,C1 ---可变成本,Q---产量. 5. 总利润函数：总利润是指销售产品所获得的全部利润， 用L表示. L(Q) = R(Q) - C(Q) , 其中 Q--产量 .

例1 已知某产品价格为P，需求函数为Q=50-5P，成本函数为 C=50+2Q，求产量Q为多少时利润L最大？最大利润是多少？

Q 解：由需求函数Q=50-5P得：P 10 . 5 2 Q 故总收益函数： R PQ 10Q . 5

总利润函数：L(Q) = R(Q) - C(Q)

Q2 10Q (50 2Q) 5 2 Q 1 8Q 50 (Q 20) 2 30 5 5

当产量Q=20时利润最大，最大利润是30.