12 第12讲一元微分学应用(二)1

极限,高等数学,微积分

高等院校非数学类本科数学课程

大 学 数 学(一)—— 一元微积分学第十二讲 一元微积分的应用(二)

—— 函数(曲线)的凹凸性、拐点、 函数图形的描绘

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第四章 导数的应用本章学习要求： 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理， 并能较好运用上述定理解决有关问题(函数方程求解、 不等式的证明等)。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 能运用函数的单调性、凸凹性、极值等来讨论函数的图形 性质，并熟练掌握函数作图过程。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求 解相关变化率和最大、最小值的应用问题。

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第四章 中值定理与导数的应用第六节 曲线的凹凸性、拐点第七节 函数图形的描绘

一、曲线的凹凸性、拐点 二、曲线的渐近线

三、函数图形的描绘

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一、曲线的凹凸性、拐点我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗?y

?!

.A

B

.x

O

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f ( x) ( a , b ) 时 , 它的图形的形式不尽相同.

一般说来, 对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 (或切线)的“上方”或“下方”的 问题 .

在数学分析中将这种问题称为曲线 (函数)的凹凸性问题 .

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简单地说 , 在区间 I 上 :曲线弧段位于相应的弦线上方(在切线的 “下方”)时, 称 之为凸的(下凹 ) ; 曲线弧段位于相应的弦线下方(切线“上方” )时, 称之为 凹的(上凹). y y f (x) y f (x)

y

凸

凹

O

x1

x1 x2 2

x2

x

O

x1

x1 x2 2

x2

x

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1. 曲线凹凸性的定义及其判别法定义设 f ( x) C ( I ) .如果 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 恒有f( x1 x2 1 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ) 2 2

成立 , 则称曲线 y f (x) 在区间 I 上是凸的 ;如果 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 恒有x1 x2 1 f( ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ) 2 2

成立 , 则称曲线 y f (x) 在区间 I 上是凹的 .

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y

在 ( , 0) 上 ,y x 3 是凸的 ,

y x

3

此时 y 0 .在 (0, ) 上 ,O

x

y x 3 是凹的 ,

此时 y 0 .

y 3 x 2 ,

y 6x ,

x 0 时,

y 0 ,

有何体会？

点 (0, 0) 是曲线凹凸性的分界点.

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能不能根据函数的 二阶导数的符号来 判别函数所对应的 曲线的凸凹性呢？

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定理设 f ( x) C ( [a, b] ) , 在 (a, b) 内有二阶导数 .

若 f ( x) 0 , x (a, b) , 则 y f ( x) 在 [a, b] 是凹的.

若 f ( x) 0 , x (a, b) , 则y f ( x) 在 [a, b] 是凸的.在运用该定理时要注意： 如果 f ( x) 0 ( 0) , x

(a, b) , 但仅在个别孤立点处等于零 , 则定理仍然成立 .

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例2 解

1 判别曲线 y 的凹凸性 . x

函数的定义域为 ( , 0) (0, ) .2 y 3 , x

1 因为 y 2 , x

1 所以 x ( , 0) 时 , y 0 , y 为凸的 , x 1 x (0, ) 时 , y 0 , y 为凹的. x

该函数的图形 请自己绘出.

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例4 解

研究 y x 4 - 2 x 3 1在 ( 1, 1) 内的凹凸性 .y 4 x 3 6 x 2 , y 12 x 2 12 x 12 x( x 1),为判断y’’的正负,先计算y’’=0, 得 x=0 或 x=1

x ( , 0) 或( , )时, y 0 , 1

故 函数是凹的.x (0, 1) 时, y 0 ,

x 0,x 1 是使

y 0 的点,是曲线凹凸性 的分界点.

故 函数是凸的.

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比较例3 和例4 , 发现使得曲线所对 应的函数的二阶导数等于零的点引起了 我们的兴趣 , 因为它可能是曲线凹凸性 的分界点 .

拐点

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2. 曲线拐点的定义及判别法连续曲线上凸弧与凹弧的分界点 , 称为曲线的拐点.

y

y f (x)

y

y g (x)

O

x

O

x

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定理

( 判别拐点的必要条件 )

设 f ( x) 在区间 I 上二阶可导. 若 ( x0 , y0 ) 为曲线 y f ( x) 的拐点 ( x0 I ) , 则 f ( x0 ) 0 .

使 f ( x) 0 及 f ( x) 不存在的点,

称为曲线的拐点可疑点 .

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定理

( 判别拐点的充分条件 ) 设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 U( x0 ) ( x0 I ) 内二阶可导.

若 f ( x) 在点 x0 两侧符号相反 , 则

点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点.

根据拐点的定义立即可证明该定理 .

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求拐点一般步骤求曲线 y f ( x) 拐点的一般步骤 :( 1 ) 求 f ( x) 的定义域 (或确定讨论区间 ; )(2) 计算 f ( x) , f ( x) , (如需要可求出 f ( x)) ;

(3) 求拐点可疑点:使 f ( x) 0 的点和 f ( x) 不存在的点;

(4) 根据定理判别可疑点是否确为拐点.

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例4 解

讨论曲线 y e

x2 2

的凹凸性 , 并求拐点.

定义域为: ( , )y xex2 2

,

y ( x 2 1)e

x2 2

,

令 y 0 得拐点可疑点: x 1 , x 1 (横坐标)x

( , 1)

10

( 1, 1)

10

(1, )

y y

拐点

拐点

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曲线 y e

x2 2

: 在 ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的,

在 ( 1, 1)内为凸的.点 ( 1, e ) 及 ( 1, e ) 为其拐点.y 1 2 1 2

y e

x2 2

1

O

1

x