高等数学基础例题讲解(2)

c，代入所设平面方程得：

DDDxyz x y z D 0 1abc abc．

A

x 1y 1z

2 1，求过点P(2,1,3)并且与直线L垂例4．已知点P(2,1,3)和直线L：3

直相交的直线方程．

x 1y 1z

2 1垂直的平面方程为：解法一：过点P(2,1,3)且与直线L：3

3(x 2) 2(y 1) (z 3) 0，即3x 2y z 5 0，

x 1 3t

y 1 2t z t

N(x,y,z)L再设直线与此平面的交点为，则将直线 代入上面的平面方程得：

3( 1 2t 2) 2(1 2t 1) ( t 3) 0解得

126246

NP , , {2, 1,4}

7777．

取所求直线的方向向量s {2, 1,4}，则所求直线方程为

x 2y 1z 3

2 14．

t

32133

N(,, )

7，从而有交点777，所以

解法二：设垂足为P0(x0,y0,z0)，其在直线L上对应的参数为t0，则：

PP0 s PP0 s 0 3(3t0 3) 2(2t0) ( 1)( t0 3) 0，

x0 1 3t0

y0 1 2t0

z t0 00 3t0 3,2t0, t0 3 ，由 ，PP

12624321336

P0(,, )P0P {, , {2, 1,4}t0

777，所以 77777，从而有垂足解得．

x 2y 1z 3

14．

取垂线的方向向量s {2, 1,4}，则所求垂直相交的直线方程为2

一些基本典型例题的讲解,极具代表性哦。

从此例我们也顺便得到了点P到直线L的距离为：

|P0P| 222

例5．设圆柱面x y R上有一质点，它一方面绕z轴以等角速度 旋转，另一

方面同时以等速度v0平行于z轴的正方向移动，开始时（t 0），质点在A(R,0,0)处，求质点运动的方程．

解：如图，设时间t时，质点在点M(x,y,z)，M 是M(x,y,z)在xoy平面上的投影，则 AOM t，

x OM cos Rcos t，

y OM sin Rsin t，

z MM v0t． 所以质点运动的方程为

x Rcos t

y Rsin t z vt

0 ．

此方程称为螺旋线的参数方程．

第6章 多元函数微分学

x2y

lim

(x,y) (0,0)x4 y2

例1．求．

解：当(x,y)沿直线y kx趋于(0,0)时有：

x2yx2yx2 kxlim lim 0(x,y) (0,0)x4 y2x 0x4 y2 lim4

x 0x (kx)2y kx

但仍不能说函数f(x,y)在(0,0)存在极限．

实际上，当(x,y)沿曲线y x趋于(0,0)时有：

2

x2yx2 x21

lim4 lim x 0x y2x 0x4 (x2)222

y x

．

x2y

lim

(x,y) (0,0)x4 y2

所以不存在．

x2y2

f(x,y) 2 2

ab在点(x,y)处沿其梯度方向的方向导数． 例2．求函数

2x 2y

gradf 2i 2j

ab，其方向余弦 解：

xy

cos cos

x2y2x2y222

a b

a4b4，a4b4

所以，函数在点(x,y)沿其梯度方向的方向导数为

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f l4242 ． 22

z lnx y例3．设，求其二阶偏导数． zx zy 2 222

解： xx y， yx y，

2z(x2 y2) x 2xy2 x2 2z2xy

x2(x2 y2)2(x2 y2)2， x yx2 y2， 2z2xy 2zx2 y2

2 2

22

y xx y， y(x y2)2．

z z

2uu xyv x yz esinv例4．设，，，求 x， y

解：由公式（1）得：

z z u z v

uu

x u x v x esinv y ecosv 1

eu(ysinv cosv) exy[ysin(x y2) cos(x y2)] z z u z v

y u y v y eusinv x eucosv 2y

eu(xsinv 2ycosv) exy[xsin(x y2) 2ycos(x y2)]

3

例5．要修建一容积为50m的长方体水池，问其长、宽、高怎样选取才能使用料最省？ 解：设水池的长、宽、高分别为x,y,z，表面积为S，则有xyz 50．

11

xy 100( )

xy （x 0,y 0） 从而：S xy 2yz 2xz

根据实际情况，水池表面积的最小值一定存在，并在函数定义域D内取得，现在函数S在D

内只有唯一驻点，故可判断当长和宽等于m时，水池的表面积最小．

100

S y 0x2 x

Sy x 100 0

3 y2 x y

第7章 多元函数积分学

xyd 例1．计算，其中D是由直线y 1，x 2及y x所围成的闭区域．

D

解法一：如图，积分区域D可看成x 型区域，则

2x212xxyd dxxydy [xy]1dx 1112D

11xx93

(x x)dx ( ) 2 124218

2

42

2

解法二：积分区域D亦可看成y 型区域，则

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22211222xyd ＝dyxydx [xy]ydy (4y y3)dy 1y1221D

1x492

＝(2y )＝2418

xe

例2．计算

2

2

y

2

d

，其中

D

D (x,y)x2 y2 a2,a 0

解：在极坐标系下，积分区域

(r, )0 2 ,0 r a D可表示为D

2

x

e

所以

2

y2

D

d e rrdrd

D

r2

2 0

d e

a

12

rdr 2 ( e r)

2

a

(1 e a)

2

22

z x y例3．求抛物面在平面z 1下面那部分的面积．

22 2xzy 2yzxoyx y 1x 解：如图，在面上的投影区域为，因为，，所以

S

Dxy

fx2 fy2dxdy

Dxy

2 0

d

6

1)

x2y2

2 12

b例4．设曲线L为椭圆a在第一象限的那段弧，求

．

L

xyds

解：L

的方程为

y

0 x a），

ds ，

Lxyds

22

ab(a ab b)ba 2 3(a b)a0

a

xyzdS 例5．计算，其中

22

z x y为曲面被z 1割下的有限部分．

Dxy {(x,y)x2 y2 1}xoy解： 在面上的投影区域，

dS ，所以

xyzdS

xy(x

Dxy

2

y2

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20

4 d

sin cos r0

1

0

2 2sin2 d r0

1

第8章 级数

1

2p

(an bn c)n 1例1．判断级数（a 0，p 0）的收敛性

11/(an2 bn c)p

lim 1 2pn 1/(an2)p

解：由于，所以原级数与n 1(an)具有相同的敛散性，而

11

2p

apn 1(an)

1 2pn 1n，可知

11

p 2p

(an bn c)n 12当时，收敛；

11

0 p 2p

2时，n 1(an bn c)发散． 当

( )n

s ,s 0

例2．讨论级数n 1n（）的敛散性．

n 1sun 1 nlim lim n

sn un (n 1) ，利用比值判别法 n解：

( )n

s

则 当0 1时，n 1n绝对收敛．

( )n s

1当时，n 1n发散．

( 1)n1( )n ( 1)n

ss ssnnn 1n 1nn 1n 1当时，n 1，是一个p级数

当s 1时，绝对收敛．

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